הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/סדרות/מבחן השורש לסדרות

משפט

תהי $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ סדרה חיובית. נסמן $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=L$ .

• אם $L<1$ אז $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ .
• אם $L>1,L=\infty$ אז $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty$ .

הוכחה

• מקרה א': $L<1$

בדומה למבחן השורש לטורים, ההוכחה מתבססת על בניית סדרה הנדסית בהתבסס על הגבול והשוואתה לסדרה הנתונה.

ניתן לקצר תהליכים ולהתבסס ישירות על מבחן השורש לטורים כי אם הסדרה חיובית והגבול $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=L<1$ , אז המבחן קובע כי הטור $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס,

וכיון שהתכנסות טור גוררת התכנסות הסדרה ל-0, נקבל כי $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ .

$\blacksquare$

• מקרה ב': $L>1,L=\infty$

נבחר מספר $r$ המקיים $L>r>1$ . כיון ש־$L>1$ קיים $N\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>N$ מתקיים ${\sqrt[{n}]{a_{n}}}>r$ , כלומר $a_{n}>r^{n}$ .

$\{r^{n}\}_{n=1}^{\infty }$ היא סדרה הנדסית עם מנה $r>1$ ולכן שואפת לאינסוף. מאי־השוויון לעיל נובע כי $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty$ .

$\blacksquare$