- משפט
תהי
פונקציה רציפה בקטע סגור
. אזי היא חסומה בקטע זה.
- הוכחה באמצעות משפט בולצאנו-ויירשטראס
נניח בשלילה וללא הגבלת הכלליות כי
איננה חסומה מלעיל בקטע
. לפיכך, לכל
קיימת נקודה
עבורה
.
הסדרה
מוכלת בקטע הסגור
ולכן היא חסומה בו.
על-פי משפט בולצאנו-ויירשטראס, לסדרה שבנינו קיימת תת־סדרה מתכנסת
שגבולה
.
רציפה ומתקבל
.
מאידך גיסא
, כלומר
חסומה מלמטה ע"י סדרה ששואפת לאינסוף ולכן
. סתירה.
- הוכחה באמצעות משפט קנטור
על־פי משפט קנטור לרציפות במידה שווה,
רציפה במידה שווה בקטע
.
כלומר לכל
קיים
כך שלכל
המקיימים
מתקיים
.
נחלק את הקטע
ל־
קטעים שווים שאורכם
, נדרוש שאורך כל קטע הנ"ל יהיה קטן מ־
. כלומר
.
בכל קטע נבחר נקודה
אמצע הקטע (כאשר חלוקת הקטעים היא
). יהי
. כיון שאורך הקטע
, לפי הרציפות במידה שווה נסיק כי:
מתקיים
ולכן גם
לכל
.
נבחר
לכן נקבל
לכל
.