- משפט
תהי פונקציה רציפה בקטע סגור . אזי היא חסומה בקטע זה.
- הוכחה באמצעות משפט בולצאנו-ויירשטראס
נניח בשלילה וללא הגבלת הכלליות כי איננה חסומה מלעיל בקטע . לפיכך, לכל קיימת נקודה עבורה .
הסדרה מוכלת בקטע הסגור ולכן היא חסומה בו.
על-פי משפט בולצאנו-ויירשטראס, לסדרה שבנינו קיימת תת־סדרה מתכנסת שגבולה .
רציפה ומתקבל .
מאידך גיסא , כלומר חסומה מלמטה ע"י סדרה ששואפת לאינסוף ולכן . סתירה.
- הוכחה באמצעות משפט קנטור
על־פי משפט קנטור לרציפות במידה שווה, רציפה במידה שווה בקטע .
כלומר לכל קיים כך שלכל המקיימים מתקיים .
נחלק את הקטע ל־ קטעים שווים שאורכם , נדרוש שאורך כל קטע הנ"ל יהיה קטן מ־ . כלומר .
בכל קטע נבחר נקודה אמצע הקטע (כאשר חלוקת הקטעים היא ). יהי . כיון שאורך הקטע , לפי הרציפות במידה שווה נסיק כי:
מתקיים ולכן גם לכל .
נבחר
לכן נקבל לכל .