הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/רציפות/המשפט הראשון של ויירשטראס

משפט

תהי פונקציה רציפה בקטע סגור . אזי היא חסומה בקטע זה.

הוכחה באמצעות משפט בולצאנו-ויירשטראס

נניח בשלילה וללא הגבלת הכלליות כי איננה חסומה מלעיל בקטע . לפיכך, לכל קיימת נקודה עבורה .

הסדרה מוכלת בקטע הסגור ולכן היא חסומה בו.

על-פי משפט בולצאנו-ויירשטראס, לסדרה שבנינו קיימת תת־סדרה מתכנסת שגבולה .

רציפה ומתקבל .

מאידך גיסא , כלומר חסומה מלמטה ע"י סדרה ששואפת לאינסוף ולכן . סתירה.

הוכחה באמצעות משפט קנטור

על־פי משפט קנטור לרציפות במידה שווה, רציפה במידה שווה בקטע .

כלומר לכל קיים כך שלכל המקיימים מתקיים .

נחלק את הקטע ל־ קטעים שווים שאורכם , נדרוש שאורך כל קטע הנ"ל יהיה קטן מ־ . כלומר .

בכל קטע נבחר נקודה אמצע הקטע (כאשר חלוקת הקטעים היא ). יהי . כיון שאורך הקטע , לפי הרציפות במידה שווה נסיק כי:

מתקיים ולכן גם לכל .

נבחר

לכן נקבל לכל .