הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/כלל לופיטל

משפט

תהיינה פונקציות גזירות בסביבה מנוקבת של כך ש־ , וכן .

אם הגבול קיים (גם במובן הרחב) אזי מתקיים .

הוכחה

נגדיר שתי פונקציות:

ולכן הפונקציות רציפות ב־ ובסביבת שלה. נתבונן בקטע כאשר .

לפי הנ"ל, רציפות בקטע , גזירות בקטע ו־ בקטע. אזי לפי משפט הערך הממוצע של קושי קיים עבורו

נשים לב כי מכיון ש־ וזאת כתוצאה ישירה של כלל הסנדוויץ'. נשתמש בעובדה זו בחישוב הגבול הבא:

באופן דומה, בעזרת קטע מוכיחים כי .

לכן .


משפט

תהיינה פונקציות גזירות בסביבת כך ש- , וכן .

אם הגבול קיים (גם במובן הרחב) אזי מתקיים .

הוכחה

יהי . בשלב הזה ההוכחה מתפצלת עבור המקרים ו- , כאשר ההבדל בעיקרו מתבטא רק בשלב הבא: אם אז (בהוכחה עבור היינו מקבלים ). נוכיח את המקרה בלבד. אזי,

כעת נשתמש בכלל לופיטל עבור נקודה סופית, אותו הוכחנו לעיל.

כדרוש. מ.ש.ל.

משפט

תהיינה פונקציות גזירות בסביבת כך ש- , וכן .

אם הגבול קיים (גם במובן הרחב) אזי מתקיים .

הוכחה

נרשום ובכך אנחנו מקבלים גבול מהצורה המקיים את כל תנאי כלל לופיטל עבור מקרה זה, אותו הוכחנו לעיל. נשתמש בכלל לופיטל ונקבל:

אזי, קיבלנו .

על-ידי מניפולציה אלגברית פשוטה, אנו מקבלים:

ומכך נובע:

כיון ש- ו- שואפים ל- , אנו מקבלים , כדרוש. מ.ש.ל.