- משפט
תהיינה פונקציות גזירות בסביבה מנוקבת של כך ש־ , וכן .
אם הגבול קיים (גם במובן הרחב) אזי מתקיים .
- הוכחה
נגדיר שתי פונקציות:
ולכן הפונקציות רציפות ב־ ובסביבת שלה. נתבונן בקטע כאשר .
לפי הנ"ל, רציפות בקטע , גזירות בקטע ו־ בקטע. אזי לפי משפט הערך הממוצע של קושי קיים עבורו
נשים לב כי מכיון ש־ וזאת כתוצאה ישירה של כלל הסנדוויץ'. נשתמש בעובדה זו בחישוב הגבול הבא:
באופן דומה, בעזרת קטע מוכיחים כי .
לכן .
- משפט
תהיינה פונקציות גזירות בסביבת כך ש- , וכן .
אם הגבול קיים (גם במובן הרחב) אזי מתקיים .
- הוכחה
יהי . בשלב הזה ההוכחה מתפצלת עבור המקרים ו- , כאשר ההבדל בעיקרו מתבטא רק בשלב הבא: אם אז (בהוכחה עבור היינו מקבלים ). נוכיח את המקרה בלבד. אזי,
כעת נשתמש בכלל לופיטל עבור נקודה סופית, אותו הוכחנו לעיל.
כדרוש. מ.ש.ל.
- משפט
תהיינה פונקציות גזירות בסביבת כך ש- , וכן .
אם הגבול קיים (גם במובן הרחב) אזי מתקיים .
- הוכחה
נרשום ובכך אנחנו מקבלים גבול מהצורה המקיים את כל תנאי כלל לופיטל עבור מקרה זה, אותו הוכחנו לעיל. נשתמש בכלל לופיטל ונקבל:
אזי, קיבלנו .
על-ידי מניפולציה אלגברית פשוטה, אנו מקבלים:
ומכך נובע:
כיון ש- ו- שואפים ל- , אנו מקבלים , כדרוש. מ.ש.ל.