הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/משפט הערך הממוצע של קושי

משפט

תהיינה $f,g$ פונקציות רציפות בקטע הסגור $[a,b]$ , גזירות בקטע הפתוח $(a,b)$ ומתקיים $g'(x)\neq 0$ לכל $x\in (a,b)$ .

אזי קיימת נקודה $c\in (a,b)$ עבורה ${\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}$ .

הוכחה

תהי $y(x)=f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}{\bigl (}g(x)-g(a){\bigr )}$ משוואת הישר העובר בנקודות ${\bigl (}g(a),f(a){\bigr )},{\bigl (}g(b),f(b){\bigr )}$ , רציפה וגזירה בכל הקטע ונגזרתה קבועה $y'(x)={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}$ .

נגדיר פונקציה נוספת $h(x)=f(x)-y(x)$ , רציפה בקטע $[a,b]$ כהפרש פונקציות רציפות, גזירה בקטע $(a,b)$ כהפרש פונקציות גזירות ומקיימת $h(a)=h(b)=0$ .

$h(x)$ מקיימת את שלושת תנאי משפט רול, לפיכך קיימת נקודה $c\in (a,b)$ עבורה $h'(c)=0$ :

$$h'(c)=f'(c)-y'(c)=f'(c)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}\cdot g'(c)=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}$$

$\blacksquare$