הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/משפט רול

משפט

אם רציפה בקטע הסגור וגזירה בקטע הפתוח ומתקיים , אזי קיימת נקודה עבורה .

הוכחה

נחלק לשלושה מקרים:

  • פונקציה קבועה – במקרה זה לכל .
  • עבור כלשהו. מהנחת הרציפות על־פי המשפט השני של ויירשטראס מקבלת בקטע הסגור מקסימום.
ולכן מקסימום זה בנקודה פנימית . מהנחת הגזירות נובע ממשפט פרמה כי .
  • עבור ההוכחה זהה למקרה הקודם. רק יש להחליף במילה "מינימום".