- משפט
תהי
פונקציה רציפה בקטע סגור
. אזי היא מקבלת מינימום ומקסימום בקטע זה.
- הוכחה באמצעות המשפט הראשון של ויירשטראס ומשפט ב"ו
נוכיח בה"כ לקבלת מקסימום בקטע.
על-פי המשפט הראשון של ויירשטראס, הפונקציה חסומה מלעיל בקטע
. לכן כתוצאה מאקסיומת השלמות של המספרים הממשיים, קיים לה חסם עליון שנסמנו
.
כיון שכך, לכל
קיימת נקודה
כך שמתקיים
.
לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס לסדרה שבנינו קיימת תת-סדרה מתכנסת
שגבולה
.
, ולכן מתקבל על-פי כלל הסנדוויץ' כי
.
רציפה ומתקבל
, ולכן
כנדרש.
- הוכחה באמצעות המשפט הראשון של ויירשטראס בלבד
אם
הוא חסם עליון בקטע אבל אינו מתקבל שם, אז
והפונקציה
חיובית ורציפה בכל הקטע.
על-פי המשפט הראשון של ויירשטראס היא חסומה מלעיל, כלומר קיים
כך שלכל
מתקיים
.
מכך נובע כי
, בסתירה לכך ש-
הוא החסם העליון.