הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/רציפות/המשפט השני של ויירשטראס

משפט

תהי $f$ פונקציה רציפה בקטע סגור $[a,b]$ . אזי היא מקבלת מינימום ומקסימום בקטע זה.

הוכחה באמצעות המשפט הראשון של ויירשטראס ומשפט ב"ו

נוכיח בה"כ לקבלת מקסימום בקטע.

על-פי המשפט הראשון של ויירשטראס, הפונקציה חסומה מלעיל בקטע $[a,b]$ . לכן כתוצאה מאקסיומת השלמות של המספרים הממשיים, קיים לה חסם עליון שנסמנו $M=\sup {\Big \{}f(x){\Big |}x\in [a,b]{\Big \}}$ .

כיון שכך, לכל $n\in \mathbb {N}$ קיימת נקודה $x_{n}\in [a,b]$ כך שמתקיים $M-{\frac {1}{n}}<f(x_{n})\leq M$ .

לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס לסדרה שבנינו קיימת תת-סדרה מתכנסת $x_{n_{k}}$ שגבולה $\lim _{k\to \infty }x_{n_{k}}=x_{0}\in [a,b]$ .

$M-{\frac {1}{n_{k}}}\leq f(x_{n_{k}})\leq M$ , ולכן מתקבל על-פי כלל הסנדוויץ' כי $\lim _{k\to \infty }f(x_{n_{k}})=M$ .

$f$ רציפה ומתקבל $\lim _{k\to \infty }f(x_{n_{k}})=f(x_{0})$ , ולכן $f(x_{0})=M$ כנדרש.

$\blacksquare$

הוכחה באמצעות המשפט הראשון של ויירשטראס בלבד

אם $M$ הוא חסם עליון בקטע אבל אינו מתקבל שם, אז $M-f(x)>0$ והפונקציה ${\frac {1}{M-f(x)}}$ חיובית ורציפה בכל הקטע.

על-פי המשפט הראשון של ויירשטראס היא חסומה מלעיל, כלומר קיים $z>0$ כך שלכל $x\in [a,b]$ מתקיים ${\frac {1}{M-f(x)}}\leq z$ .

מכך נובע כי $f(x)\leq M-{\frac {1}{n}}<M$ , בסתירה לכך ש-$M$ הוא החסם העליון.

$\blacksquare$