הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/רציפות/המשפט השני של ויירשטראס

משפט

תהי פונקציה רציפה בקטע סגור . אזי היא מקבלת מינימום ומקסימום בקטע זה.


הוכחה באמצעות המשפט הראשון של ויירשטראס ומשפט ב"ו

נוכיח בה"כ לקבלת מקסימום בקטע.

על-פי המשפט הראשון של ויירשטראס, הפונקציה חסומה מלעיל בקטע . לכן כתוצאה מאקסיומת השלמות של המספרים הממשיים, קיים לה חסם עליון שנסמנו .

כיון שכך, לכל קיימת נקודה כך שמתקיים .

לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס לסדרה שבנינו קיימת תת-סדרה מתכנסת שגבולה .

, ולכן מתקבל על-פי כלל הסנדוויץ' כי .

רציפה ומתקבל , ולכן כנדרש.


הוכחה באמצעות המשפט הראשון של ויירשטראס בלבד

אם הוא חסם עליון בקטע אבל אינו מתקבל שם, אז והפונקציה חיובית ורציפה בכל הקטע.

על-פי המשפט הראשון של ויירשטראס היא חסומה מלעיל, כלומר קיים כך שלכל מתקיים .

מכך נובע כי , בסתירה לכך ש- הוא החסם העליון.