הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/טורים ומבחני התכנסות/מבחן אבל

משפט

תהי סדרה מונוטונית וחסומה, ויהי טור מתכנס. אזי הטור מתכנס.

הוכחה

נסמן כי הסדרה הנ"ל מתכנסת. אז הסדרה מונוטונית ושואפת ל־0.

הטור מתכנס, לכן בפרט סדרת הסכומים החלקיים שלו חסומה, כלומר קיים כך שלכל מתקיים .

הסדרה והטור מקיימים את תנאי מבחן דיריכלה, לכן הטור מתכנס.

ידוע לנו כעת שהטורים מתכנסים, לכן מכללי אריתמטיקה של טורים נובע שגם מכפלתם בקבוע (למשל ) וכן סכומם מתכנסים. אבל: