הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/טורים ומבחני התכנסות/מבחן אבל

משפט

תהי סדרה מונוטונית וחסומה, ויהי טור מתכנס. אזי הטור מתכנס.

הוכחה

נסמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=a} כי הסדרה הנ"ל מתכנסת. אז הסדרה מונוטונית ושואפת ל־0.

הטור מתכנס, לכן בפרט סדרת הסכומים החלקיים שלו חסומה, כלומר קיים כך שלכל מתקיים .

הסדרה והטור מקיימים את תנאי מבחן דיריכלה, לכן הטור מתכנס.

ידוע לנו כעת שהטורים מתכנסים, לכן מכללי אריתמטיקה של טורים נובע שגם מכפלתם בקבוע (למשל ) וכן סכומם מתכנסים. אבל: