הוכחות מתמטיות/שונות/π מספר טרנסצנדנטי/פולינומים סימטריים

הגדרה 1

תהי קבוצה סופית $X={\bigl \{}X_{1},\ldots ,X_{n}{\bigr \}}$ . הפונקציה $\sigma :X\to X$ תיקרא תמורה אם ורק אם היא חד־חד־ערכית ועל.

כלומר, לכל $1\leq i\leq n$ קיים $1\leq j\leq n$ יחיד עבורו $\sigma (X_{i})=X_{\sigma (i)}=X_{j}$ .

קבוצת כל התמורות של אברי $X$ מסומנת $S_{X}$ .

עבור $X={\bigl \{}1,2,3{\bigr \}}$ קיימות $3!=6$ תמורות שונות:

{\begin{aligned}&\sigma _{1}={\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{bmatrix}},\quad \sigma _{2}={\begin{bmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{bmatrix}}\\[5pt]&\sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{bmatrix}},\quad \sigma _{4}={\begin{bmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{bmatrix}}\\[5pt]&\sigma _{5}={\begin{bmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{bmatrix}},\quad \sigma _{6}={\begin{bmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{bmatrix}}\end{aligned}}

באופן כללי, אם $|X|=n$ אזי $|S_{X}|=n!=1\cdot 2\cdots n$ .

יהי $F({\vec {X}}{}^{n})$ פולינום. נגדיר:

\sigma (F):=F(X_{\sigma (1)},\ldots ,X_{\sigma (n)})

יהיו $F({\vec {X}}{}^{n}),G({\vec {X}}{}^{n})$ פולינומים. אזי מתקיים:

{\begin{aligned}F&=a\,X_{1}^{a_{1}}\!\cdots X_{n}^{a_{n}}\\[5pt]G&=b\,X_{1}^{b_{1}}\!\cdots X_{n}^{b_{n}}\\[5pt]\sigma (F\pm G)&=\sigma {\bigl (}a\,X_{1}^{a_{1}}\!\cdots X_{n}^{a_{n}}\!\pm b\,X_{1}^{b_{1}}\!\cdots X_{n}^{b_{n}}{\bigl )}\\[5pt]&=a\,X_{\sigma (1)}^{a_{1}}\!\cdots X_{\sigma (n)}^{a_{n}}\!\pm b\,X_{\sigma (1)}^{b_{1}}\!\cdots X_{\sigma (n)}^{b_{n}}\\[5pt]&=\sigma {\bigl (}a\,X_{1}^{a_{1}}\!\cdots X_{n}^{a_{n}}{\bigl )}\pm \sigma {\bigl (}b\,X_{1}^{b_{1}}\!\cdots X_{n}^{b_{n}}{\bigl )}\\[5pt]&=\sigma (F)\pm \sigma (G)\end{aligned}}

נכליל באינדוקציה לגבי

F=\sum _{i_{1}\,=\,1}^{k_{1}}F_{i_{1}},\,G=\sum _{i_{2}\,=\,1}^{k_{2}}G_{i_{2}}

, כאשר

F_{i_{1}},G_{i_{2}}

מונומים.

{\begin{aligned}F&=a\,X_{1}^{a_{1}}\!\cdots X_{n}^{a_{n}}\\[5pt]G&=b\,X_{1}^{b_{1}}\!\cdots X_{n}^{b_{n}}\\[5pt]\sigma (F\cdot G)&=\sigma {\bigl (}a\,X_{1}^{a_{1}}\!\cdots X_{n}^{a_{n}}\!\cdot b\,X_{1}^{b_{1}}\!\cdots X_{n}^{b_{n}}{\bigl )}\\[5pt]&=ab\,\sigma {\bigl (}X_{1}^{a_{1}+b_{1}}\!\cdots X_{n}^{a_{n}+b_{n}}{\bigl )}\\[5pt]&=ab\,X_{\sigma (1)}^{a_{1}+b_{1}}\!\cdots X_{\sigma (n)}^{a_{n}+b_{n}}\\[5pt]&={\bigl (}a\,X_{\sigma (1)}^{a_{1}}\!\cdots X_{\sigma (n)}^{a_{n}}{\bigr )}\cdot {\bigl (}b\,X_{\sigma (1)}^{b_{1}}\!\cdots X_{\sigma (n)}^{b_{n}}{\bigr )}\\[5pt]&=\sigma {\bigl (}a\,X_{1}^{a_{1}}\!\cdots X_{n}^{a_{n}}{\bigl )}\cdot \sigma {\bigl (}b\,X_{1}^{b_{1}}\!\cdots X_{n}^{b_{n}}{\bigl )}\\[5pt]&=\sigma (F)\cdot \sigma (G)\end{aligned}}

כנ"ל, נכליל באינדוקציה לגבי

F=\sum _{i_{1}\,=\,1}^{k_{1}}F_{i_{1}},\,G=\sum _{i_{2}\,=\,1}^{k_{2}}G_{i_{2}}

, כאשר

F_{i_{1}},G_{i_{2}}

מונומים:

{\begin{aligned}\sigma (F\cdot G)&=\sigma {\bigg (}\sum _{i_{1}\,=\,1}^{k_{1}}F_{i_{1}}\cdot \sum _{i_{2}\,=\,1}^{k_{2}}G_{i_{2}}{\bigg )}\\[5pt]&=\sigma {\bigg (}\sum _{i_{1}\,=\,1}^{k_{1}}\sum _{i_{2}\,=\,1}^{k_{2}}F_{i_{1}}G_{i_{2}}{\bigg )}\\[5pt]&=\sum _{i_{1}\,=\,1}^{k_{1}}\sum _{i_{2}\,=\,1}^{k_{2}}\sigma (F_{i_{1}}\!\cdot G_{i_{2}})\\[5pt]&=\sum _{i_{1}\,=\,1}^{k_{1}}\sum _{i_{2}\,=\,1}^{k_{2}}\sigma (F_{i_{1}})\cdot \sigma (G_{i_{2}})\\[5pt]&=\sum _{i_{1}\,=\,1}^{k_{1}}\sigma (F_{i_{1}})\cdot \sum _{i_{2}\,=\,1}^{k_{2}}\sigma (G_{i_{2}})\\&=\sigma {\bigg (}\sum _{i_{1}\,=\,1}^{k_{1}}F_{i_{1}}{\bigg )}\cdot \sigma {\bigg (}\sum _{i_{2}\,=\,1}^{k_{2}}G_{i_{2}}{\bigg )}\\[5pt]&=\sigma (F)\cdot \sigma (G)\end{aligned}}

{\begin{aligned}(\sigma _{1}\circ \sigma _{2})(F)&=F{\bigl (}X_{(\sigma _{1}\,\circ \,\sigma _{2})(1)},\ldots ,X_{(\sigma _{1}\,\circ \,\sigma _{2})(n)}{\bigr )}\\[5pt]&=F{\bigl (}X_{\sigma _{1}(\sigma _{2}(1))},\ldots ,X_{\sigma _{1}(\sigma _{2}(n))}{\bigr )}\\[5pt]&=\sigma _{1}{\bigl (}F(X_{\sigma _{2}(1)},\ldots ,X_{\sigma _{2}(n)}){\bigr )}\\[5pt]&=\sigma _{1}(\sigma _{2}(F))\end{aligned}}

יהי $P({\vec {X}}{}^{n})$ פולינום. אזי הוא נקרא פולינום סימטרי אם מתקיים

\sigma (P)=P

לכל תמורה $\sigma :\{1,\ldots ,n\}\to \{1,\ldots ,n\}$ .

{\begin{aligned}P({\color {red}x_{1}},{\color {Green}x_{2}},{\color {blue}x_{3}})&={\color {red}x_{1}^{2}}{\color {Green}x_{2}^{2}}{\color {blue}x_{3}^{2}}+{\color {red}3x_{1}}+{\color {Green}3x_{2}}+{\color {blue}3x_{3}}\\[5pt]&={\color {red}x_{1}^{2}}{\color {blue}x_{3}^{2}}{\color {Green}x_{2}^{2}}+{\color {red}3x_{1}}+{\color {blue}3x_{3}}+{\color {Green}3x_{2}}\\[5pt]&={\color {Green}x_{2}^{2}}{\color {red}x_{1}^{2}}{\color {blue}x_{3}^{2}}+{\color {Green}3x_{2}}+{\color {red}3x_{1}}+{\color {blue}3x_{3}}\\[5pt]&={\color {Green}x_{2}^{2}}{\color {blue}x_{3}^{2}}{\color {red}x_{1}^{2}}+{\color {Green}3x_{2}}+{\color {blue}3x_{3}}+{\color {red}3x_{1}}\\[5pt]&={\color {blue}x_{3}^{2}}{\color {red}x_{1}^{2}}{\color {Green}x_{2}^{2}}+{\color {blue}3x_{3}}+{\color {red}3x_{1}}+{\color {Green}3x_{2}}\\[5pt]&={\color {blue}x_{3}^{2}}{\color {Green}x_{2}^{2}}{\color {red}x_{1}^{2}}+{\color {blue}3x_{3}}+{\color {Green}3x_{2}}+{\color {red}3x_{1}}\end{aligned}}

{\begin{aligned}P({\color {red}x_{1}},{\color {Green}x_{2}},{\color {blue}x_{3}})&={\color {red}x_{1}}+{\color {Green}x_{2}}-{\color {blue}x_{3}}\\[5pt]&\neq {\color {red}x_{1}}+{\color {blue}x_{3}}-{\color {Green}x_{2}}\\[5pt]&\neq {\color {Green}x_{2}}+{\color {red}x_{1}}-{\color {blue}x_{3}}\\[5pt]&\neq {\color {Green}x_{2}}+{\color {blue}x_{3}}-{\color {red}x_{1}}\\[5pt]&\neq {\color {blue}x_{3}}+{\color {red}x_{1}}-{\color {Green}x_{2}}\\[5pt]&\neq {\color {blue}x_{3}}+{\color {Green}x_{2}}-{\color {red}x_{1}}\end{aligned}}

סכום, הפרש ומכפלת פולינומים סימטריים הוא פולינום סימטרי.
יהי $F$ פולינום במשתנים $Y_{1},\ldots ,Y_{m}$ , ויהיו $G_{1},\ldots ,G_{m}$ פולינומים סימטריים במשתנים $X_{1},\ldots ,X_{n}$ .