ויקיספר

מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אי-שוויונות/אי-שוויונות ממעלה שניה: הבדלים בין גרסאות בדף

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
בונגולים (שיחה | תרומות)
1,179 עריכות
שינוי שוויונים לשוויונות
דרורק (שיחה | תרומות)
1,137 עריכות
אין תקציר עריכה
שורה 1:
לפתרון אי-שוויונות ממעלה שנייה ישנה טכניקה שונה מהטכניקה לפתרון אי-שוויונות ממעלה ראשונה. הטכניקה לפתרון אי-שוויונות ריבועיים היא לצייר בקירוב גס את הפונקציה (על ציר ה-X<math>\;x</math> בלבד- הסבר בהמשך), ולראות מתי היא קטנה או גדולה מאפס. ניקח דוגמה: <br>
<math>\ 2x^2-8x<-6</math></br>
ראשית נפשט את הביטוי- ונעביר את '''כל האיברים''' לאגף אחד בלבד. כדאי ורצוי להעביר לאגף בו המקדם של <math>\ x^2</math> (a) חיובי (שיקולי נוחות).<br>
<center>
<math>\ 2x^2-8x+6<0</math></br>
<math>\ x^2-4x+3=0Updownarrow</math></br>▼
<math>\ x^2-4x+3<0</math><br>
</center>
כעת מה שנעשה הוא שלב עזר-. נשווה את הביטוי שבאגף שמאל לאפס (משוואה), ונמצא את שורשי המשוואה. <br>
▲<math>\ x^2-4x+3=0</math></br>
<center>
<math>\ X=\frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2-4*1*3}}{2*1}=\frac{4 \pm \sqrt{4}}{2}=\frac{4 \pm 2}{2}</math><br>▼
<br>
<math>\ x^2-4x+3=0</math></br><br>
▲<math>\ Xx_{1,2}=\frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2-4*\cdot 1*\cdot 3}}{2*\cdot 1}=\frac{4 \pm \sqrt{4}}{2}=\frac{4 \pm 2}{2}</math><br><br>
<math>\ x_1=\frac{4+2}{2}=3</math><br>
<math>\ x_2=\frac{4-2}{2}=1</math><Br>
</center>
עכשיו משמצאנו את שורשי המשוואה, נוכל לשרטט את הפונקציה בקירוב גס (ואין צורך ביותר מזה):<br>
[[תמונה:Inequality1.PNG]]
</br>
כעתן ניתן לראות, שהביטוי הנ"ללעיל קטן מ-0 (כי ביקשו קטן) כאשר ערכי איקס הינם בין 1 ל-3. כלומר פתרון אי-השוויון הוא:<br>
<math>\ 1<x<3</math></br>
אגב,לחליפין אם היו מבקשיםשואלים מתי אי-השוויון המפורש (לאחר שפישטנו אותו) גדול מ-0, אזי הפתרון היה <math>\ x>3\ or</math> או <math>\ x<1</math>.<br>
 
===באופן כללי===
שורה 21 ⟵ 27:
#אם יש צורך, מכפילים את המשוואה ב-(1-) כדי שהמקדם של <math>\ x^2</math> יהיה חיובי.
#משווים ל-0 ומוצאים את שורשי המשוואה (<math>\ x_1</math> ו-<math>\ x_2</math>).
#משרטטים ציר איקס '''בלבד''', מסמנים עליו את השורשים, ומשרטטים פרבולה ישרה ("מחייכת") (היא "מחייכת"ישרה כי דאגנו שהמקדם של האיקס בריבוע יהא חיובי. אם לאאלמלא דאגנו לכך, ישכי אז היה צורך לצייר את הפרבולה "עצובה"הפוכה).
#בודקים איזה תחום נדרש מאיתנו (גדול או קטן מאפס) ומוצאים את התחום הזה בגרף.
#רושמים את הפתרון.
שורה 27 ⟵ 33:
<br>
<font size=3>'''ובאופן עוד יותר כללי'''</font><BR>
קייםכאשר אנו נדרשים להתיר אי שוויון ריבועי. וחישבנו ומצאנו כי שורשי הביטוי הריבועי הם <math>\ x_1</math> ו-<math>\ x_2</math>. בהנחה ש- <math>\ x_1>x_2</math> אזי:<Br>
א. אם הביטוי הריבועי קטן מאפס- אזי הפתרון הוא מערכת וגם: <math>\ x_2<x<x_1</math><br>
ב. אם הביטוי הריבועי גדול מאפס- אזי הפתרון הוא מערכת או: <math>\ x>x_1\ or</math>
<math>
\ x<x_2</math> <br><br>
ניתן להבין את קביעה זו לפי הגרף הבא:<br>
[[תמונה:Inequality2.PNG]]<br><BR>
 
<font size="4"><u>'''=אי-שוויונות ריבועיים מיוחדים'''</u><Br></font>==
 
לעתים מופיעים תרגילים בהם נדרשת הוכחה כי אי-שוויון מסוים מתקיים לכל ערך של איקס, או לא מתקיים עבור אף ערך של איקס וכו'. בסעיף זה נלמד כיצד לפתור שאלות מסוג זה.<br>
למדנומלימודינו בחשבון דיפרנציאלי ראינו כי המקדם של <math>x^2</math> מלמד על צורתה של הפונקציההפרבולה: ישרה ("מחייכתמחיכת") או הפוכה ("בוכה/עצובה"). נלמד כעת תכונה נוספת של ביטויים ריבועיים:<BR>
כידוע, הנוסחה לפתרון משוואה ריבועית היא <math>\ Xx_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>. הביטוי שנמצא מתחת לשורש (<math>\ b^2-4ac</math>) נקרא '''דלתא''' או '''[[w:דיסקרימיננטה|דיסקרימיננטה]]''' ומסומן בבאות היוונית-<math>\ \Delta</math> (ד'לתא). לדלתא משמעות רבה לגבי צורת הגרף:
*כאשר הדלתאהדיסקרימיננטה גדולה מאפס, לגרף של הביטוי הריבועי יש '''שתי נקודות חיתוך''' עם ציר האיקס.
*כאשר הדלתאהדיסקרימיננטה שווה לאפס, לגרף של הביטוי הריבועי יש '''נקודת חיתוך אחת''' עם ציר האיקס (הגרף בעצם משיק לציר האיקס).
*כאשר הדלתאהדיסקרימיננטה קטנה מאפס, לגרף של הביטוי הריבועי '''אין נקודות חיתוך''' עם ציר האיקס.
 
כאשר יודעים את המקדם של ה- <math>a</math> של <math>\ (a) x^2</math> ואת הדלתאהדיסקרימיננטה, ניתן לשרטט (בקירובבאופן אמנםסכמטי, אך אין צורך ביותר מזה) את גרף הפונקציה. שרטוט גרף הפונקציה בעזרת מרכיבים אלו מאפשר לנו להוכיח ולפתור אי-שוויונות מעט יותר מורכבים. דוגמאות:<br><Br>
'''דוגמה 1'''<BR>
הוכח כי אי-השוויון <math>\ x^2-2x+1 \ge 0</math> מתקיים עבור כל ערך של איקס (ניסוחים אחרים: נכון עבור כל איקס, נכון תמיד, סימון: <math>x\in\mathbb{R}</math>).<BR>
לפתרון שאלה זו שתי דרכים:<BR>
א. הדרך הרלוונטית לנו: שרטוט הגרף. בכדי לשרטט את הגרף נזדקק לשני נתונים הכרחיים: <math>\;a</math> והדלתאוהדיסקרימיננטה (math>\Delta</math>).<BR>>
נוכל לראות כי <math>\ a=1>0</math>, כלומר הפונקציההפרבולה מחייכתישרה. שנית, נחשב את הדלתאהדיסקרימוננטה:<BR>
<math>\ \Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4 \cdot 1 \cdot 1=4-4=0</math><BR>
קיבלנו כי הדלתאהדיסקרימוננטה שווה לאפס, כלומר לגרף הפונקצייה נקודה אחת משותפת עם ציר ה-X<math>\;x</math> (הגרף משיק לציר ה-X<math>\;x</math>). במונחים של משוואות, למשוואה יש רק פתרון אחד. כעת נוכל לשרטט בקירובבאופן סכמטי את גרף הפונקציה:<BR>
[[תמונה:Inequality3.PNG]]<BR>
מכאן נוכל לראות שאכן הביטוי הריבועי '''תמיד''' גדול או שווה ל-0 (הוא תמיד מעל (או על) ציר האיקס<math>\;x</math>).
<BR><BR>
ב. דרך שנייה היא לאלו מבינינו ששמו לב שמדובר בנוסחת כפל מקוצר. לכן:<BR><center>
<math>\ x^2-2x+1=(x-1)^2</math><BR>
וכידוע, ביטוי ריבועי '''תמיד''' גדול או שווה לאפס.
<BR><BR></center>
'''דוגמה 2'''<BR>
הוכח כי עבור כל ערך של איקס הביטוי <math>\ -x^2+5x-7</math> שלילי. <BR><BR>
שוב, כדי לפתור שאלה זו מה שנעשה הוא ננסה לצייר את הפונקציה, וכך נוכיח את נכונות הטענה. בכדי לצייר את הפונקציה, אנו זקוקים לפרמטר <math>\;a</math> (המקדם של ה-<math>\ x^2</math>) ולדיסקרימננטה. נבדוק את הפרמטרים:<BR>
*<math>\ a=-1<0</math>- שלילי.
*<math>\ \Delta=5^2-4 \cdot (-1) \cdot (-7)=25-28=-3<0</math>, כלומר הדלתאהדיסקרימננטה שלילית גם כן.<BR>
משני נתונים אלו נוכל להסיק כי הפרבולה עצובההפוכה, וכי אין לה נקודות חיתוך עם ציר ה-X<math>\;x</math>. נצייר:<BR>
[[תמונה:Inequality4.PNG]]<BR>
נוכל לראות מהגרף כי גרף הפונקציה נמצא '''תמיד''' מתחת לציר ה-X<math>\;x</math>, כלומר תמיד שלילי. שוב, במונחים של משוואות, למשוואה הריבועית הזו אין אף פתרון. (בכך הוכחה הטענה)
 
{{תוכן|
אוחזר מתוך "https://he.wikibooks.org/wiki/מתמטיקה_תיכונית/אלגברה_תיכונית/אי-שוויונות/אי-שוויונות_ממעלה_שניה"