עריכה
נתונה בעיית תנאי־ההתחלה הבאה:
{
u
t
t
=
u
x
x
,
x
>
0
u
(
x
,
0
)
=
u
t
(
x
,
0
)
=
0
u
(
0
,
t
)
=
t
{\displaystyle \ {\begin{cases}u_{tt}=u_{xx},\ x>0\\u(x,0)=u_{t}(x,0)=0\\u(0,t)=t\end{cases}}}
נפעיל את ההתמרה על המשתנה t (שבו נתונים תנאי ההתחלה) בשני האגפים ונקבל:
p
2
U
(
x
,
p
)
−
p
u
(
x
,
0
)
⏞
=
0
−
u
t
(
x
,
0
)
⏞
=
0
=
U
″
(
x
,
p
)
{\displaystyle \ p^{2}U(x,p)-p\overbrace {u(x,0)} ^{=0}-\overbrace {u_{t}(x,0)} ^{=0}=U''(x,p)}
כלומר קבלנו מד"ר פשוטה בפונקציה U ובמשתנה x:
U
″
−
p
2
U
=
0
⇒
U
(
x
,
p
)
=
A
(
p
)
e
p
x
+
B
(
p
)
e
−
p
x
{\displaystyle \ U''-p^{2}U=0\quad \Rightarrow \quad U(x,p)=A(p)e^{px}+B(p)e^{-px}}
על מנת למצוא את המקדמים (התלויים ב-p!) צריך:
להבטיח ש-U חסומה, ולכן דרוש לאפס את A.
להתמיר את תנאי השפה:
U
(
0
,
p
)
=
L
[
u
(
0
,
t
)
]
=
1
p
2
=
B
(
p
)
{\displaystyle \ U(0,p)={\mathcal {L}}[u(0,t)]={\frac {1}{p^{2}}}=B(p)}
כך שהפתרון הוא:
U
(
x
,
p
)
=
1
p
2
e
−
p
x
{\displaystyle \ U(x,p)={\frac {1}{p^{2}}}e^{-px}}
לבסוף נבצע התמרת לפלס הפוכה כדי לחזור למישור הזמן:
L
−
1
[
U
(
x
,
p
)
]
=
u
(
x
,
t
)
=
t
−
x
{\displaystyle \ {\mathcal {L}}^{-1}[U(x,p)]=u(x,t)=t-x}
למעשה הפתרון הקפדני יותר הוא
u
(
x
,
t
)
=
H
(
t
−
x
)
⋅
(
t
−
x
)
{\displaystyle \ u(x,t)=H(t-x)\cdot (t-x)}
כאשר H היא פונקצית המדרגה של Heaviside, והיא נמצאת בפתרון מכיוון שתחום הבעיה הוא x>0.
עריכה
נתונה בעיית תנאי־ההתחלה הבאה:
{
u
t
t
=
c
2
u
x
x
,
0
≤
x
≤
l
u
(
x
,
0
)
=
u
t
(
x
,
0
)
=
0
u
(
0
,
t
)
=
g
(
t
)
,
u
(
l
,
t
)
=
0
{\displaystyle \ {\begin{cases}u_{tt}=c^{2}u_{xx},\ 0\leq x\leq l\\u(x,0)=u_{t}(x,0)=0\\u(0,t)=g(t),\ u(l,t)=0\end{cases}}}
בדומה למקרה הקודם, נפעיל התמרת לפלס על המשתנה שבו נתונים תנאים ב-0, כלומר המשתנה t, ונקבל את המד"ר הבאה:
U
″
−
p
2
c
2
U
=
0
⇒
U
(
x
,
p
)
=
A
(
p
)
e
p
c
x
+
B
(
p
)
e
−
p
c
x
{\displaystyle \ U''-{p^{2} \over c^{2}}U=0\quad \Rightarrow \quad U(x,p)=A(p)e^{{p \over c}x}+B(p)e^{-{p \over c}x}}
על מנת למצוא את המקדמים (התלויים ב-p!) צריך להשתמש בשני תנאי השפה הנתונים (כאן לא ניתן להשתמש בטיעון החסימות מכיון שהבעיה מוגבלת לתחום סופי):
{
U
(
0
,
p
)
=
G
(
p
)
:
A
(
p
)
+
B
(
p
)
=
G
(
p
)
U
(
l
,
p
)
=
0
:
A
(
p
)
e
p
c
l
+
B
(
p
)
e
−
p
c
l
=
0
{\displaystyle \ \left\{{\begin{array}{ll}U(0,p)=G(p):&A(p)+B(p)=G(p)\\U(l,p)=0:&A(p)e^{{p \over c}l}+B(p)e^{-{p \over c}l}=0\end{array}}\right.}
ביצוע מספר מניפולציות אלגבריות יביאו לתוצאה:
U
(
x
,
p
)
=
G
(
p
)
sinh
[
p
c
(
l
−
x
)
]
sinh
(
p
c
l
)
{\displaystyle \ U(x,p)=G(p){\frac {\sinh \left[{\frac {p}{c}}(l-x)\right]}{\sinh \left({\frac {p}{c}}l\right)}}}
כעת נותר לבצע התמרת לפלס הפוכה על הביטוי שלעיל. ע"פ תכונת הקונבולוציה, ההתמרה ההפוכה הינה:
u
(
x
,
t
)
=
g
(
t
)
∗
L
−
1
{
sinh
[
p
c
(
l
−
x
)
]
sinh
(
p
c
l
)
}
{\displaystyle \ u(x,t)=g(t)*{\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {\sinh \left[{\frac {p}{c}}(l-x)\right]}{\sinh \left({\frac {p}{c}}l\right)}}\right\}}
כך שעלינו למצוא את התמרה ההפוכה של הגורם הימני בלבד (הפונקציה הכללית g נתונה בבעיה). נשתמש לצורך כך במשפט השאריות של קושי:
L
−
1
{
F
(
p
)
}
=
1
2
π
i
∫
c
−
i
∞
c
+
i
∞
F
(
p
)
e
p
t
d
p
=
∑
k
=
1
Res
[
F
(
p
)
e
p
t
,
p
k
]
{\displaystyle \ {\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(p)\right\}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{c-i\infty }^{c+i\infty }F(p)e^{pt}\mathrm {d} p=\sum \limits _{k=1}\operatorname {Res} \left[F(p)e^{pt},p_{k}\right]}
הקטבים של הפונקציה הם האפסים של
sinh
(
p
l
/
c
)
{\displaystyle \ \sinh(pl/c)}
p
k
=
±
π
i
c
l
k
{\displaystyle p_{k}=\pm \pi i{c \over l}k}
Res
{
f
1
(
z
)
f
2
(
z
)
,
z
p
}
=
f
1
(
z
p
)
f
2
′
(
z
p
)
{\displaystyle \operatorname {Res} \left\{{\frac {f_{1}(z)}{f_{2}(z)}},z_{p}\right\}={\frac {f_{1}(z_{p})}{f_{2}^{\prime }(z_{p})}}}
כך שמתקבל:
Res
[
F
(
p
)
e
p
t
,
p
k
]
=
−
i
c
l
sin
(
π
k
x
l
)
e
i
π
k
c
l
t
{\displaystyle \operatorname {Res} \left[F(p)e^{pt},p_{k}\right]=-i{c \over l}\sin \left(\pi k{\frac {x}{l}}\right)e^{i\pi k{\frac {c}{l}}t}}
בסה״כ, ע״י שימוש בזהות
sin
(
x
)
=
i
2
(
e
−
i
x
+
e
i
x
)
{\displaystyle \ \sin(x)={\tfrac {i}{2}}(e^{-ix}+e^{ix})}
f
(
x
,
t
)
=
L
−
1
{
F
(
p
)
}
=
2
c
l
∑
k
=
1
∞
sin
π
k
x
l
sin
π
k
c
t
l
{\displaystyle f(x,t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(p)\right\}=2{c \over l}\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sin {\frac {\pi kx}{l}}\sin {\frac {\pi kct}{l}}}
ולכן התשובה הסופית הינה הקונבולוציה:
u
(
x
,
t
)
=
∫
0
t
g
(
t
−
τ
)
f
(
x
,
τ
)
d
τ
=
2
c
l
∑
k
=
1
∞
sin
π
k
x
l
∫
0
t
g
(
t
−
τ
)
sin
π
k
c
τ
l
d
τ
{\displaystyle \ u(x,t)=\int \limits _{0}^{t}g(t-\tau )f(x,\tau )\mathrm {d} \tau =2{c \over l}\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sin {\frac {\pi kx}{l}}\int \limits _{0}^{t}g(t-\tau )\sin {\frac {\pi kc\tau }{l}}\mathrm {d} \tau }
ראו גם פתרון הבעיה בעזרת התמרת פוריה .
![{\displaystyle \ {\mathcal {L}}\left[f(x)\right]=F(p)=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-px}f(x)\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bb7c1a3b01461bd3b7c2101c9cc98cd4f9b07a0)
![{\displaystyle \ {\mathcal {L}}\left[{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial ^{2}x}}\right]=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-pt}{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial ^{2}x}}\mathrm {d} t={\frac {\mathrm {d^{2}} }{\mathrm {d} x^{2}}}\int \limits _{0}^{\infty }e^{-pt}u(x,t)\mathrm {d} t={\frac {\mathrm {d^{2}} U(x,p)}{\mathrm {d} x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35cc28db5243bc5e9359a04bbd0c9e3bb69c64c4)
![{\displaystyle \ U(0,p)={\mathcal {L}}[u(0,t)]={\frac {1}{p^{2}}}=B(p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93e193aa84a5b5c9b4b493812d49d74ae0cae43e)
![{\displaystyle \ {\mathcal {L}}^{-1}[U(x,p)]=u(x,t)=t-x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c5f547df1c2b5db745a0f867261f77a9445a1cc)
![{\displaystyle \ U(x,p)=G(p){\frac {\sinh \left[{\frac {p}{c}}(l-x)\right]}{\sinh \left({\frac {p}{c}}l\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/834bb411ded076364aacba553ea92c9d85a9ec5c)
![{\displaystyle \ u(x,t)=g(t)*{\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {\sinh \left[{\frac {p}{c}}(l-x)\right]}{\sinh \left({\frac {p}{c}}l\right)}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bb77e58f513029de3504c6517d9710c4a95ee8c)
![{\displaystyle \ {\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(p)\right\}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{c-i\infty }^{c+i\infty }F(p)e^{pt}\mathrm {d} p=\sum \limits _{k=1}\operatorname {Res} \left[F(p)e^{pt},p_{k}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57aaa63cd1d61dd8742337a8c807a2ca1607d744)
![{\displaystyle \operatorname {Res} \left[F(p)e^{pt},p_{k}\right]=-i{c \over l}\sin \left(\pi k{\frac {x}{l}}\right)e^{i\pi k{\frac {c}{l}}t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a7e54fbeb1c96ff8401f0711974c50a9bac06a1)
