משוואות דיפרנציאליות חלקיות/התמרות אינטגרליות/התמרת פורייה

התמרת פורייה היא התמרה מוכרת מאוד ונפוצה בהנדסה.

"התמרת פורייה" בהקשר שלנו היא שם כולל ל-3 סוגי התמרות:

• התמרת פורייה טריגונומטרית
  • התמרת סינוס

    $\ {\mathcal {F}}\left[f(x)\right]=F(p)=\int \limits _{0}^{\infty }f(x)\sin(px)\mathrm {d} x$

  • התמרת קוסינוס

    $\ {\mathcal {F}}\left[f(x)\right]=F(p)=\int \limits _{0}^{\infty }f(x)\cos(px)\mathrm {d} x$

• התמרת פורייה מעריכית

  • $\ {\mathcal {F}}\left[f(x)\right]=F(p)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{ipx}\mathrm {d} x$

השיטה

השיטה, בדומה לכל השיטות האינטגרליות, מתבססת על ההנחה כי ניתן לשנות סדר בין גזירה לאינטגרציה, כלומר שמתקיים, לדוגמה:

$\ {\mathcal {F}}\left[{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial ^{2}t}}\right]=\int \limits _{0}^{l}{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial ^{2}t}}\sin \left({\frac {n\pi x}{l}}\right)\mathrm {d} x={\frac {\mathrm {d^{2}} }{\mathrm {d} t^{2}}}\int \limits _{0}^{l}u(x,t)\sin \left({\frac {n\pi x}{l}}\right)\mathrm {d} x={\frac {\mathrm {d^{2}} U(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}$

דוגמאות

בעיית גלים במיתר סופי

נתונה בעיית תנאי־ההתחלה הבאה:

$\ {\begin{cases}u_{tt}=c^{2}u_{xx},\ 0\leq x\leq l\\u(x,0)=u_{t}(x,0)=0\\u(0,t)=g(t),\ u(l,t)=0\end{cases}}$

נפעיל התמרת סינוס סופית (כי הבעיה נתונה בתחום סופי) על המשתנה x (כי הבעיה מתוחמת ב-x):

$\ \int \limits _{0}^{l}{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}}}\sin \left({\frac {n\pi x}{l}}\right)\mathrm {d} t=c^{2}\int \limits _{0}^{l}{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}}\sin \left({\frac {n\pi x}{l}}\right)\mathrm {d} x$

(להסביר מדוע מופיע האינקס n)

באגף שמאל נבצע החלפת סדר בין גזירה לאינטגרציה ובאגף ימין מבצע אינטגרציה בחלקים:

$\ {1 \over c^{2}}U_{n}^{\prime \prime }(t)={\frac {n\pi }{l}}g(t)-\left({\frac {n\pi }{l}}\right)^{2}U_{n}(t)$

כלומר מתקבלת המד״ר:

$\ U_{n}^{\prime \prime }(t)+\left({\frac {cn\pi }{l}}\right)^{2}U_{n}(t)={\frac {c^{2}n\pi }{l}}g(t)$

ופתרונה מתקבל ע״י שימוש בפונקית גרין (עם ת״ה $\ U(0)=U_{t}(0)=0$) וקונבולוציה עם פונקצית האילוץ:

$\ U_{n}(t)=c\int \limits _{0}^{t}\sin {\frac {cn\pi \tau }{l}}g(t-\tau )\mathrm {d} \tau$

כעת, באופן בלתי תלוי, נרשום ביטוי כללי לפיתוח של הפונקציה המקורית $\ u(x,t)$ לטור סינוסים:

$\ u(x,t)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }b_{n}\sin {\frac {n\pi x}{l}}$

כאשר b_n הן פונקציות התלויות ב-t בלבד. כידוע מתורת הפיתוח לטורי פורייה, המקדמים b_n ניתנים על ידי:

$\ b_{n}={2 \over l}\int \limits _{0}^{l}u(x,t)\sin {\frac {n\pi x}{l}}\mathrm {d} x$

שימו לב כי האינטגרל שקבלנו הוא בדיוק ההתמרה שביצענו על u בתחילת הדרך (זו בדיוק ההתמרה ההפוכה!). לכן ניתן לכתוב:

$\ b_{n}={2 \over l}U_{n}(t)\quad \Rightarrow \quad u(x,t)={2 \over l}\sum \limits _{n=1}^{\infty }U_{n}(t)\sin {\frac {n\pi x}{l}}$

נציב את U שקבלנו קודם ונקבלֹ:

$u(x,t)=2{c \over l}\sum \limits _{n=1}^{\infty }\sin {\frac {n\pi x}{l}}\int \limits _{0}^{t}\sin {\frac {cn\pi \tau }{l}}g(t-\tau )\mathrm {d} \tau$

ראו גם פתרון הבעיה בעזרת התמרת לפלס.