משוואות דיפרנציאליות רגילות/פתרון בעזרת התמרת לפלס

התמרת לפלס

ויקיפדיה:התמרת לפלס פונקצית התמסורת

התמרת לפלס (מסומנת באות ${\mathcal {L}}$) היא התמרה אינטגרלית המוגדרת על ידי:

${\mathcal {L}}[f(t)]=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt=F(s)$

ואחת מתכונותיה היא הפיכה נגזרת למכפלה:

${\mathcal {L}}{\dot {y}}(t)=sY(s)-y(0)$

תכונה זו מאפשר להפוך כל (מערכת) מדר לינארית ל(מערכת) משוואה אלגברית, שפתרונה הוא פתרון המד"ר במישור לפלס (מישור התדר), ויש להפעיל עליו התמרת לפלס הפוכה על מנת לקבל את הפתרון במישור הזמן.

שיטה זו אפשרית לביצוע רק כאשר תנאי ההתחלה של הבעיה נתונים בזמן t=0. להרחבה, ר' פתרון בעזרת פונקצית גרין.

הפתרון הכללי של מד"ר לינארית מסדר n עם תנאי התחלה t=0

נתון אופרטור דיפרנציאלי לינארי כללי כלשהו מסדר $n$ :

$L_{n}=\sum \limits _{k=0}^{n}c_{k}{\frac {d^{k}}{dt^{k}}}=c_{n}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}+c_{n-1}{\frac {d^{n-1}}{dt^{n-1}}}+\cdots +c_{1}{\frac {d}{dt}}+c_{0}$

נגדיר בעזרתו את המד"ר:

$L_{n}[f(t)]=r(t)$

נפעיל התמרת לפלס על שני האגפים, תוך היעזרות בתכונה

${\mathcal {L}}\left[{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\right]=s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-\cdots -f^{(n-1)}(0)$

ונקבל אחרי קיבוץ אברים:

$F(s)\sum \limits _{k=0}^{n}c_{k}s^{k}-\overbrace {\sum \limits _{k=0}^{n-1}s^{k}\left(\sum \limits _{j=k}^{n-1-k}c_{j+1}f^{(j)}(0)\right)} ^{\mathrm {I} _{n}(s)}=R(s)$

כאשר $\mathrm {I} _{n}$ נקרא "פולינום תנאי-התחלה". מהביטוי לעיל ניתן לקבל פתרון סגור ל-$F$ :

$F(s)={\frac {R(s)+\mathrm {I} _{n}(s)}{c_{n}s^{n}+c_{n-1}s^{n-1}+\cdots +c_{1}s+c_{0}}}$

במונחים של תורת הבקרה קבלנו שפונקצית היציאה $F$ (במישור התדר) שווה לסכום של פונקצית הכניסה $R$ ופולינום ת"ה, מחולק בפולינום האופייני של המערכת. לבסוף, על מנת לקבל את הפתרון במישור הזמן יש לבצע התמרת לפלס הפוכה:

$f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {R(s)+\mathrm {I} _{n}(s)}{c_{n}s^{n}+c_{n-1}s^{n-1}+\cdots +c_{1}s+c_{0}}}\right]$

לא תמיד ההתמרה תהיה קיימת, ולא תמיד ניתן יהיה לקבל ביטוי אנליטי עבורה (אלא נומרי בלבד).

סיכום

בהינתן מד"ר לינארית כלשהי מסדר $n$ עם ת"ה $t=0$ , ניתן לבטא את פתרונה באופן אנליטי מפורש באמצעות התמרת לפלס.

הפתרון הכללי של מד"ר לינארית מסדר n עם תנאי התחלה הומוגניים

זהו מקרה פרטי של האמור לעיל, עבורו מתקיים:

   $\ f^{(k)}(0)=0,\ \forall k=0,1,2,...,n-1$

ואז הפתרון הכללי הינו:

   $\ f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {R(s)}{c_{n}s^{n}+c_{n-1}s^{n-1}+\cdots +c_{1}s+c_{0}}}\right]$

דוגמאות

מסה עם קפיץ ומשכך ויסקוזי, תחת השפעה של כוח חיצוני

המד"ר המתארת מצב זה היא:

   $\ m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=f(t)$

כאשר x היא קוארדינטת המיקום של המסה, f הוא הכוח החיצוני, c הוא קבוע המשכך ו-k הוא קבוע הקפיץ. הפעלת ההתמרה על המד"ר תתן משוואה אלגברית ב-X (במישור התדר):

   $\ m\left[s^{2}X(s)-sx(0)-{\dot {x}}(0)\right]+c\left[sX(s)-x(0)\right]+kX(s)=F(s)$

בידודו של X יתן:

   $\ X(s)={\frac {F(s)+m{\dot {x}}(0)+(ms+c)x(0)}{ms^{2}+cs+k}}$

הפתרון במישור הזמן יתקבל על ידי הפעלת ההתמרה ההפוכה:

   $\ x(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {F(s)+m{\dot {x}}(0)+(ms+c)x(0)}{ms^{2}+cs+k}}\right]$

בהנחת ת"ה אפס ($\ x(0)={\dot {x}}(0)=0$) נקבל:

   $\ x(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {F(s)}{ms^{2}+cs+k}}\right]$

נניח ש-F מייצג כוח חיצוני קבוע הפועל במשך 3 שניות, בתחום הזמנים $\ t\in [0,3]$. במישור הזמן, כוח כזה ניתן ליצוג באמצעות שתי פונקציות מדרגה (Heaviside):

   $\ f(t)=u(t)-u(t-3)={\mathcal {R}}_{0,3}$

אך במקום להשתמש בהתמרת הלפלס שלה, נשתמש בתכונת הקונבולוציה של התמרת לפלס, תוך שכתוב המכנה לצורת מכפלה (s+b)(s+a):

   $\ x(t)=f(t)*{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {1}{(s+a)(s+b)}}\right]={\mathcal {R}}_{0,3}*\left({\frac {e^{-at}-e^{-bt}}{b-a}}\right)=\int \limits _{0}^{3}{\frac {e^{-a(t-\tau )}-e^{-b(t-\tau )}}{b-a}}\mathrm {d} \tau$

כאשר:

   $\ a,b={\frac {c\pm {\sqrt {c^{2}-4km}}}{2m}}$

פתרון האינטרגל הינו:

   $\ x(t)={1 \over b-a}\left[{e^{-at} \over a}(e^{3a}-1)-{e^{-bt} \over b}(e^{3b}-1)\right]$