משתמש:משתמש:Illuyanka/טיוטה/מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הוכחות/פונקציה מעריכית
נגזרת של פונקציה מעריכית
עריכהעל-פי נגזרת - תורת הגבולות הגדרת הנגזרת: . על-פי הגדרת הנגזרת, נגלה את נוסחת הנגזרת עבור הפונקציה בנקודה
למשל: הנגזרת של הפונקציה , בנקודה היא:
הנגזרת של פונקציה מעריכית בנקודה היא:
נקודות פיתול - הוכחה
עריכהבכדי למצוא את הנוסחא לנקודת פיתול מבצע פעולה פשוטה יחסית – נגזור את הנגזרת הראשונה על-פי הכלל:
כיון ש: וכך גם: , תמיד, כלומר, אין נקודות פיתול לפונקציה מעריכית!
פונקציות מעריכיות מורכבות - הוכחה
עריכהעתה נרצה לגלות את הנוסחא לחישוב נגזרת עבור פונקציות מעריכיות מורכבות; נעזר בדוגמא של .
נפשט את הנוסחא באמצעות טכניקות אלגבריות ונקבל:
נמצא נגזרת:
נבצע גזירה מורכבת :
נסמן:
למשל, כאשר נרצה לגזור את הפונקציה
הנוסחא:
לוגריתמי טבעי (ln)
עריכהגם, פה, תהליך מציאת הנגזרת ארוך ומסבוך ולכן, המציאו את המושג (ln(a, שפרושו בעברית לוגריתם טבעי, הנו : .
"הנוסחא של ln" נמצאת במחשבון לחיצה עליה ועל a המבוקש תקצר לנו תהליך החישוב שתואר לעיל. אתם יכולים, כבר עכשיו, לבדוק את הערך של ולגלות שהוא שווה ל-0.693.
כלומר, למציאת השיפוע של הפונקציה , נבצע את הפעולה במחשבון כך: , או ידנית, כך : .
הנגזרת של פונקציה מעריכית בנקודה כול שהיא, היא :
כמה נחמד שיש היום מחשבונים...
הייחודיות של פונקציה
עריכה
מצא את הפונקציה המעריכית עבורה (זווית של 45 מעלות)!
נציב ב- Ca ושווה לאחד:
כלומר, אם , אז הפונקציה היא : , והנגזרת היא :
המספר המדויק עבורו:
ערך, זה, 2.718, היוצר פונקציה לה הנגזרת זהה לפונקציה, הגדירו כ- . את הפונקציה הגדירו כפונקציה .