משתמש:משתמש:Illuyanka/טיוטה/מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הוכחות/פונקציה מעריכית

נגזרת של פונקציה מעריכית

עריכה

על-פי נגזרת - תורת הגבולות הגדרת הנגזרת:  . על-פי הגדרת הנגזרת, נגלה את נוסחת הנגזרת עבור הפונקציה   בנקודה  

 

למשל: הנגזרת של הפונקציה  , בנקודה   היא:

 

הנגזרת של פונקציה מעריכית בנקודה   היא:  

נקודות פיתול - הוכחה

עריכה

בכדי למצוא את הנוסחא לנקודת פיתול מבצע פעולה פשוטה יחסית – נגזור את הנגזרת הראשונה על-פי הכלל:  

 

כיון ש:   וכך גם:  ,   תמיד, כלומר, אין נקודות פיתול לפונקציה מעריכית!

פונקציות מעריכיות מורכבות - הוכחה

עריכה

עתה נרצה לגלות את הנוסחא לחישוב נגזרת עבור פונקציות מעריכיות מורכבות; נעזר בדוגמא של  .

נפשט את הנוסחא באמצעות טכניקות אלגבריות ונקבל:  

נמצא נגזרת:  

נבצע גזירה מורכבת  :

נסמן:  

 

למשל, כאשר נרצה לגזור את הפונקציה    

הנוסחא:  

לוגריתמי טבעי (ln)

עריכה

גם, פה, תהליך מציאת הנגזרת ארוך ומסבוך ולכן, המציאו את המושג (ln(a, שפרושו בעברית לוגריתם טבעי, הנו :  .

"הנוסחא של ln" נמצאת במחשבון לחיצה עליה ועל a המבוקש תקצר לנו תהליך החישוב שתואר לעיל. אתם יכולים, כבר עכשיו, לבדוק את הערך של   ולגלות שהוא שווה ל-0.693.

כלומר, למציאת השיפוע של הפונקציה  , נבצע את הפעולה במחשבון כך:  , או ידנית, כך :  .

הנגזרת של פונקציה מעריכית   בנקודה כול שהיא, היא :  

כמה נחמד שיש היום מחשבונים...

 

הייחודיות של פונקציה

עריכה

 

מצא את הפונקציה המעריכית   עבורה   (זווית של 45 מעלות)!

נציב ב- Ca ושווה לאחד:  

כלומר, אם  , אז הפונקציה היא :  , והנגזרת היא :  

המספר המדויק עבורו:  

ערך, זה, 2.718, היוצר פונקציה לה הנגזרת זהה לפונקציה, הגדירו כ-  . את הפונקציה הגדירו כפונקציה  .

סיכום נוסחאות

עריכה
  1.  
  2.  
  3.  
  4.