משתמש:משתמש:Illuyanka/טיוטה/מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הוכחות/פונקציה מעריכית

נגזרת של פונקציה מעריכית

על-פי נגזרת - תורת הגבולות הגדרת הנגזרת: $f'=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$. על-פי הגדרת הנגזרת, נגלה את נוסחת הנגזרת עבור הפונקציה $f(x)=a^{x}$ בנקודה $x=x_{0}$

${\begin{aligned}F(x)'&=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x}(a^{h}-1)}{h}}\\\end{aligned}}$

למשל: הנגזרת של הפונקציה $F(x)=2^{x}$, בנקודה $x=3$ היא:

${\begin{aligned}F(3)'&=\lim _{h\to 0}{\frac {2^{3}(2^{h}-1)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {2^{3}(2^{0.01}-1)}{0.01}}\\&=8*0.965\\\end{aligned}}$

הנגזרת של פונקציה מעריכית בנקודה $X=X_{0}$ היא: $C=F(x)'=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x_{0}}(a^{h}-1)}{h}}$

נקודות פיתול - הוכחה

בכדי למצוא את הנוסחא לנקודת פיתול מבצע פעולה פשוטה יחסית – נגזור את הנגזרת הראשונה על-פי הכלל: $C=F(x)'=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x_{0}}(a^{h}-1)}{h}}$

${\begin{aligned}F_{a}'(x_{0})&=a^{x_{0}}\cdot c_{a}=g(x_{0})\\&G(x_{0})=f''(x_{0})\\&=Ca(a^{x_{0}}\cdot Ca)\\&=f_{a}''(x_{0})=Ca^{2}\cdot a^{x_{0}}\\\end{aligned}}$

כיון ש: $Ca^{2}>0$ וכך גם: $a^{x}>0$, $f_{a}(x)''>0$ תמיד, כלומר, אין נקודות פיתול לפונקציה מעריכית!

פונקציות מעריכיות מורכבות - הוכחה

עתה נרצה לגלות את הנוסחא לחישוב נגזרת עבור פונקציות מעריכיות מורכבות; נעזר בדוגמא של $y=2^{3x}$.

נפשט את הנוסחא באמצעות טכניקות אלגבריות ונקבל: $y=(2^{3})^{x}=8^{x}$

נמצא נגזרת: $y'=8^{x}\cdot C_{8}$

נבצע גזירה מורכבת  :

נסמן: $u=3x$

${\begin{aligned}&F(u)=2^{u}\\&f(u)'=2^{u}\cdot C_{2}\\&u'(x)=3\\\Downarrow \\&3\cdot 2^{3x}\cdot C_{2}\\8^{x}\cdot 3C_{2}\\\downarrow \\C_{2^{3}}=8\\\Downarrow \\3C_{3}=3^{3}=27\\2C_{3}=3^{2}=9\\B\cdot C_{a}=C_{a^{b}}\\\downarrow \\3^{3x}=27^{x}=C_{2}7\\\Downarrow \\a^{g(x)'}=a^{g(x)}\cdot g(x)'\cdot Ca\\\end{aligned}}$

למשל, כאשר נרצה לגזור את הפונקציה $y=27^{x}$ $Y'=27^{3}x\cdot C_{2}7\cdot 3$

הנוסחא: $a^{g(x)'}=a^{g(x)}\cdot g(x)'\cdot Ca$

לוגריתמי טבעי (ln)

גם, פה, תהליך מציאת הנגזרת ארוך ומסבוך ולכן, המציאו את המושג (ln(a, שפרושו בעברית לוגריתם טבעי, הנו : $Ca=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}=\ln(a)$.

"הנוסחא של ln" נמצאת במחשבון לחיצה עליה ועל a המבוקש תקצר לנו תהליך החישוב שתואר לעיל. אתם יכולים, כבר עכשיו, לבדוק את הערך של $ln(2)$ ולגלות שהוא שווה ל-0.693.

כלומר, למציאת השיפוע של הפונקציה $y=2^{x}$, נבצע את הפעולה במחשבון כך: $C=2^{x}\cdot \ln(2)$, או ידנית, כך : $C=a\cdot Ca$.

הנגזרת של פונקציה מעריכית $y=a^{x}$ בנקודה כול שהיא, היא : $y_{a}'=a^{x_{0}}\cdot \ln(a)$

כמה נחמד שיש היום מחשבונים...

הייחודיות של פונקציה $y=e^{x}$

${\begin{array}{|c||c|}Ca&a\\\hline 0.693&2\\1.099&3\\1.386&4\\\end{array}}$

מצא את הפונקציה המעריכית $(a^{x})$ עבורה $Ca=1$ (זווית של 45 מעלות)!

נציב ב- Ca ושווה לאחד: ${\begin{aligned}&{\frac {a^{0.001}-1}{0.001}}=1\\&a^{0.001}=1.001\\&a^{0.001}={\sqrt {1.001}}\\&a=\sim 2.718\\\end{aligned}}$

כלומר, אם $a=2.718$, אז הפונקציה היא : $y=2.718^{x}$, והנגזרת היא : $y'=2.718^{x}\cdot 1$

המספר המדויק עבורו: $ax=ax'$

ערך, זה, 2.718, היוצר פונקציה לה הנגזרת זהה לפונקציה, הגדירו כ- $e=2.718$. את הפונקציה הגדירו כפונקציה $y=e^{x}$.

סיכום נוסחאות

1. $F(x)'=a^{x_{0}}\cdot Ca$
2. $\lim _{h\to 0}={\frac {a^{h}-1}{h}}$
3. $F(x)''=Ca^{2}\cdot a^{x}$
4. $F(x)'=a^{g(x)'}=a^{g(x)}\cdot g(x)'\cdot Ca$