מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן

בפרק הקודם, הנגזרת, למדנו מהי נגזרת וכיצד ניתן למצוא אותה. עתה, נלמד נוסחאות שונות, עבור פונקציות מסוימות, שחוסכות מאיתנו ביצוע חישוב מורכב בכל פעם, ושמקצרות את תהליך החישוב.

נזכיר: את הנגזרות נמצא באמצעות חישוב ערך המשיק $m={\frac {y-y_{0}}{x-x_{0}}}$ כאשר הנקודה $(x,y)$ מתקרבת לנקודה $(x_{0},y_{0})$ .

בדף זה נשתמש בסימון הבא: את נגזרת הפונקציה $f(x)$ נסמן כך: $(f(x))'=..$. דוגמה: $(mx+n)'=m$ (יוכח בהמשך).

רשימת נגזרות

• פונקציה קבועה: $y=c$

  הנגזרת: $(c)'=0$. הנגזרת של פונקציה קבועה היא לעולם אפס!

  אינטואיציה: פונקציה קבועה היא פונקציה שערך ה- $y$ שלה לא תלוי ב- $x$ (הוא תמיד c). זהו קו ישר אופקי, ושיפועו של קו כזה הוא אפס (בכל מקום). ניתן לראות זאת מחישוב השיפוע: $m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {c-c}{x_{2}-x_{1}}}=0$ .

• קו ישר: $y=ax+b$

  הנגזרת: $(ax+b)'=a$ . הנגזרת של קו ישר (פונקציה ליניארית) היא קבועה - $a$ . ערכה, לא במפתיע, שווה לשיפוע הישר. נשים לב שערך זה לא תלוי בקבוע $b$ .

  הערה: נשים לב שהביטוי שקיבלנו מתאים לכלל הנגזרת הראשון: פונקציה קבועה היא מקרה פרטי של ישר בו $a=0$ , ואכן, ערך הנגזרת שקיבלנו כאן הוא $a$ , כלומר אפס, בדיוק כמו שקיבלנו קודם.

• שבר : $[{\frac {a}{f(x)}}]$

  הנגזרת $[{\frac {a}{f(x)}}]'={\frac {-a\cdot f(x)'}{[f(x)]^{2}}}$

  דוגמא: הנגזרת של הפונקציה $g(x)={\frac {5}{x^{3}}}$ היא : $g'(x)={\frac {-5*3x^{2}}{x^{6}}}={\frac {-15x^{2}}{x^{6}}}={\frac {-15}{x^{4}}}$

• חזקה: $\ y=ax^{n}$

  הנגזרת: $\ (ax^{n})'=anx^{n-1}$.

  הערה: נשים לב שביטוי זה מתאים לביטוי שמצאנו קודם לכן. קו ישר מהצורה $y=x$ (כלומר בעל הפרמטרים $a=1,b=0$) הוא מקרה פרטי של פולינום שעבורו n=1. לפי הכלל, הנגזרת היא $(x)'=(x^{1})'=1\cdot x^{0}=1\cdot 1=1$ , בדיוק כמו $a$ .

• שורש ריבועי: $y={\sqrt {x}}$

  הנגזרת: $({\sqrt {x}})'={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$.

  הערה: ניתן לחשב זאת באמצעות הנוסחה הקודמת: הוצאת שורש ריבועי שקולה להעלאה בחזקת חצי: ${\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}$ . לכן, מתוך הכלל: $({\sqrt {x}})'=(x^{\frac {1}{2}})'={\frac {\cdot x^{-{\frac {1}{2}}}}{2}}={\frac {1}{2\cdot x^{-{\frac {1}{2}}}}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$

• פונקצית הופכי: $({\frac {1}{x}})'$

  הנגזרת: $({\frac {1}{x}})'=-x^{-2}$ .

  הערה: ניתן לחשב גם את הנוסחה הזו באמצעות הנוסחה עבור חזקה: $({\frac {1}{x}})'=(x^{-1})'=(-1)\cdot x^{-2}=-{\frac {1}{x^{2}}}$ .

• סינוס: $y=\sin(x)$

  הנגזרת: $(\sin(x))'=\cos(x)$

• 'קוסינוס: $y=\cos(x)$

  הנגזרת: $(\cos(x))'=-\sin(x)$

ראה גם

• הוכחות
• סיכום נגזרות