בפרק הקודם, הנגזרת, למדנו מהי נגזרת וכיצד ניתן למצוא אותה. עתה, נלמד נוסחאות שונות, עבור פונקציות מסוימות, שחוסכות מאיתנו ביצוע חישוב מורכב בכל פעם, ושמקצרות את תהליך החישוב.
נזכיר: את הנגזרות נמצא באמצעות חישוב ערך המשיק
כאשר הנקודה
מתקרבת לנקודה
.
בדף זה נשתמש בסימון הבא: את נגזרת הפונקציה
נסמן כך:
. דוגמה:
(יוכח בהמשך).
- פונקציה קבועה:
- הנגזרת:
. הנגזרת של פונקציה קבועה היא לעולם אפס!
- אינטואיציה: פונקציה קבועה היא פונקציה שערך ה-
שלה לא תלוי ב-
(הוא תמיד c). זהו קו ישר אופקי, ושיפועו של קו כזה הוא אפס (בכל מקום). ניתן לראות זאת מחישוב השיפוע:
.
- קו ישר:
- הנגזרת:
. הנגזרת של קו ישר (פונקציה ליניארית) היא קבועה -
. ערכה, לא במפתיע, שווה לשיפוע הישר. נשים לב שערך זה לא תלוי בקבוע
.
- הערה: נשים לב שהביטוי שקיבלנו מתאים לכלל הנגזרת הראשון: פונקציה קבועה היא מקרה פרטי של ישר בו
, ואכן, ערך הנגזרת שקיבלנו כאן הוא
, כלומר אפס, בדיוק כמו שקיבלנו קודם.
- שבר :
- הנגזרת
![{\displaystyle [{\frac {a}{f(x)}}]'={\frac {-a\cdot f(x)'}{[f(x)]^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3e711b676857551762975b6d1d41d6c7b473b29)
- דוגמא: הנגזרת של הפונקציה
היא : ![{\displaystyle g'(x)={\frac {-5*3x^{2}}{x^{6}}}={\frac {-15x^{2}}{x^{6}}}={\frac {-15}{x^{4}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da1b3177a6a06dcea6b74227ca7bc6ba028fe81e)
- חזקה:
- הנגזרת:
.
- הערה: נשים לב שביטוי זה מתאים לביטוי שמצאנו קודם לכן. קו ישר מהצורה
(כלומר בעל הפרמטרים
) הוא מקרה פרטי של פולינום שעבורו n=1. לפי הכלל, הנגזרת היא
, בדיוק כמו
.
- שורש ריבועי:
- הנגזרת:
.
- הערה: ניתן לחשב זאת באמצעות הנוסחה הקודמת: הוצאת שורש ריבועי שקולה להעלאה בחזקת חצי:
. לכן, מתוך הכלל: ![{\displaystyle ({\sqrt {x}})'=(x^{\frac {1}{2}})'={\frac {\cdot x^{-{\frac {1}{2}}}}{2}}={\frac {1}{2\cdot x^{-{\frac {1}{2}}}}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccf1535a760bbacc150202f52d482fb01074f833)
- פונקצית הופכי:
- הנגזרת:
.
- הערה: ניתן לחשב גם את הנוסחה הזו באמצעות הנוסחה עבור חזקה:
.
- סינוס:
- הנגזרת:
![{\displaystyle (\sin(x))'=\cos(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b2f355b95408d633d26442b687a2aebab27df41)
- 'קוסינוס:
- הנגזרת:
![{\displaystyle (\cos(x))'=-\sin(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7233bf24c766d281ade0471569b0b7f9b22fceb1)