מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אי-שוויונות/אי-שוויונות עם ערך מוחלט/אי-שוויונות עם שני ערכים מוחלטים או יותר

אי-שוויונות עם שני ערכים מוחלטים או יותר

אי-שוויונות עם שני ערכים מוחלטים או יותר הוא תרגיל בו מופיעים שני ערכים מוחלטים (או יותר) באי-שוויון.

אופן הפתרון

1. מוצאים את כל הערכים המאפסים את הערכים המוחלטים המופיעים באי-השוויון, ומסדרים אותם מהקטן לגדול.
2. מחלקים את ציר המספרים כולו לתחומים, לפי הערכים שקיבלנו בסעיף הקודם.
3. עבור כל תחום נבדוק מה מצב האגפים על ידי הצבת מספר בתחום: חיובי או שלילי ונשמיט את הערך המוחלט על ידי הוספת מינוס לפני הביטויים באגפים השלילים.
4. נחתוך את התוצאה המשותפת של תחום ההגדרה ושל התרגיל (כלומר שימוש בקשר וגם הגורם לחיתוך קבוצות).
5. בדיקת ערכים אי שלילים - כאמור ערך האי שיוויון יכול גם לאפס אותו ולכן בודקים עבור כל אחד מערכי הגבול (הערכים שהתקבלו בסעיף הראשון) אם הוא מקיים את אי-השוויון. במידה וכן מצרפים אותם לתשובה.
6. מאחדים את כל התשובות בקשר או ומוסיפים (אם צריך) את ערכי הגבול וזו התשובה הסופית.

דוגמא

נדגים את שלבי הפתרון על אי-השוויון:

$|x-3|+|x+1|>6$

1. הערכים המאפסים את הערכים המוחלטים (לפי הסדר) הם: $-1,3$
2. התחומים המתקבלים הם:
   • $x<-1$
   • $-1<x<3$
   • $x>3$
3. נבנה כאן טבלה, שכותרות העמודות בה יהיו התחומים שקיבלנו בסעיף הקודם, ומתחת יהיה פתרון אי-השוויון לפי השלבים:

התחום	$x<-1$	$-1<x<3$	$x>3$
הסבר	הביטויים שבשני הערכים המוחלטים יהיו שליליים כאשר נציב מספר בתחום זה. בכדי למנוע שינוי כיוון המשוואה בעת השמטת הערך המוחלט, נוריד את הערך המוחלט באמצעות החלפתו בסוגריים ולפניו נציב מינוס.	הביטוי בערך המוחלט השמאלי יהא שלילי, ולכן נוריד את סימני הערך המוחלט ונוסיף מינוס לפני (כמובן שנוסיף סוגריים). באותו התחום, ערכו של הביטוי עם הערך המוחלט הימני יהא חיובי, ולכן נוכל פשוט להשמיט את הערך המוחלט.	שני הביטויים בערכים המוחלטים יהיו חיוביים ממילא, ולכן ניתן פשוט להשמיט את סימני הערך המוחלט.
פתרון התחומים	$-(x-3)-(x+1)>6$ $-x+3-x-1>6$ $-2x+2>6$ $-2x>4$ $x<-2$	$-(x-3)+(x+1)>6$ $-x+3+x+1>6$ $4>6$ אין פתרון	$(x-3)+(x+1)>6$ $x-3+x+1>6$ $2x-2>6$ $2x>8$ $x>4$
חיתוך התחום עם התוצאה	$x<-2$	אין פתרון	$x>4$
ערכי גבול	$x=-1$ $\Downarrow$ $|-4|+|0|>6$ $4+0>6$ $4>6$ $x=3$ $\Downarrow$ $|0|+|4|>6$ $4>6$ אף אחד מערכי הגבול אינו מקיים את אי-השוויון, ולכן אינו מהווה פתרון.
התשובה הסופית	$x<-2$ או $x>4$