מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אי-שוויונות/אי-שוויונות עם שורשים

תחומי הגדרה וסימונים

שורש ${\sqrt {f(x)}}$ מוגדר רק עבור $x\geq 0$ (כל עוד מדברים על מספרים ממשיים) לדוגמה, ${\sqrt {9}}$ מוגדר, אך ${\sqrt {-9}}$ איננו. על כן כאשר פותרים אי שוויונים עם שורשים יש להוריד מהתשובות את תחום ההגדרה של השורש דהינו ${\sqrt {f(x)}}>0$.

תרגיל מה תחום ההגדרה של: ${\sqrt {x+1}}<{\sqrt {3-2x}}$:
יש לנו שני שורשים ולכן יש לנו שני תרגלים של אי שוויונים ובניהם מערכת וגם. $x+1\geq 0$ וגם $3-2x\geq 0$ $\Updownarrow$ $x\geq -1$ וגם $x\leq 1.5$ $\Updownarrow$ $-1\leq x\leq 1.5$

העלאה בריבוע

כאשר $x^{2}=a$ ישנם שני פתרונות לשורש כאשר $0\leq x$ דהינו $x={\sqrt {a}}$ או כאשר $x<0$ דהינו $x=-{\sqrt {a}}$. לדוגמה, השורש הריבועי של תשע יכול להיות גם שלוש וגם מינוס שלוש.

כאשר אנו רוצים להעלות בשנייה מערכת של אי שוויוניים עם שורשים, לדוגמה ${\sqrt {x+a}}-2<{\sqrt {x+b}}$ ($a>b$), חשוב להשם לב ששני האגפים חיובים בכדי לא לשנות את סימן המשוואה.

• אם כל אחד מאגפיו חיובי, הסימן נשאר.
• אם כל אחד מאגפיו שלילי, הסימן מתהפך.

הבדיקה תתבצע על ידי הצבת הערך הקטן ביותר מתחום ההגדרה בשורש.

אם בעת בדיקה מתקבל כי אחד מהאגפים אינו חיובי, ננסה להעביר אגפים של ערכים חופשיים בכדי לקבל שני אגפים חיובים.

דוגמה 1: העלאה בשנייה את ${\sqrt {x+a}}-2<{\sqrt {x+b}}$ כאשר ($a>b$) ראשית נמצא את תחום ההגדרה $b\geq 0$ וגם $a\geq 0$. מאחר ו-$a>b$ תחום ההגדרה הכולל הינו $a\geq 0$ עתה נציב $a$ ונראה מה קורה. אנו יודעים בוודאות שהאגף ימיני חיובי מאחר שהוא נמצא בשורש והמספרים אותם אנו מציבים נמצאים בתחום ההגדרה של השורש. לעומת זאת באגף השמאלי איננו יודעים מה יצא הפתרון. יתכן כי הוא יהיה שלילי או חיובי. בכדי לפתור את הבעיה נוכל להעביר את הספרה שתים מאגפו השמאלי אל אגפו הימני ולפתור ${\sqrt {x+a}}<{\sqrt {x+b}}+2$

דוגמה 2: הדגמה לשני האגפים חיובים נפתור את אי-השוויון: ${\sqrt {x+1}}<{\sqrt {3-2x}}$ כבר ראינו מקודם שתחום ההגדרה הוא $-1\leq x\leq 1.5$ כדי לפתור את אי-השוויון, נשים לב ששני אגפיו אינם שליליים בהצבת $-1$ (הערך הקטן ביותר של תחום ההגדרה), ולכן נוכל להעלות בריבוע את אגפיו ולשמור על הסימן: $x+1<3-2x$ $\Updownarrow$ $3x<2$ $\Updownarrow$ $x<{\frac {2}{3}}$ כל שנותר הוא לחתוך את מה שקיבלנו כאן עם תחום ההגדרה: $-1\leq x\leq 1.5$ וגם $x<{\frac {2}{3}}$ $\Updownarrow$ $-1\leq x<{\frac {2}{3}}$ וזהו הפתרון.

דוגמה 3: העברת אגפים בכדי לשמור על שני אגפים חיובים נפתור את ${\sqrt {x-4}}-2<{\sqrt {x-1}}$ קל למצוא את תחום ההגדרה: $x-4\geq 0$ וגם $x-1\geq 0$ $\Updownarrow$ $x\geq 4$ וגם $x\geq 1$ $\Updownarrow$ $x\geq 4$ קל גם לראות שאגף ימין אינו שלילי כאשר מציבים $-4$. אגף שמאל, לעומת זאת, יכול להיות שלילי ($-4$) או חיובי ($24$) - קשה לקבוע זאת. נעביר את ה-2 לאגף ימין, בכך סימנו ישתנה לפלוס ובכך תיפתר הבעיה: שני האגפים יהיו אי-שליליים בהכרח. ${\sqrt {x-4}}<{\sqrt {x-1}}+2$ $\Updownarrow$ $x-4<x-1+2\cdot 2{\sqrt {x-1}}+4$ $\Updownarrow$ $x-4<x+3+4{\sqrt {x-1}}$ $\Updownarrow$ $-7<4{\sqrt {x-1}}$ כאן אגף שמאל שלילי, ואגף ימין אי-שלילי. לכן אי-השוויון מתקיים תמיד (בתחום ההצבה). הפתרון לבעיה, אם כן, הוא חיתוך כל המספרים עם תחום ההצבה, או, באופן פשוט, תחום ההגדרה.

סימן תחום ההגדרה אינו ידוע - חלוקה למקרים

גישה נוספת לפתרון במקרה שאגף כלשהו בעל סימן לא ידוע, הוא לחלק את הבעיה לכל אחד מהמקרים האפשריים. כלומר, יש לבדוק מה קורה כשהאגף שלילי, ומה קורה כשהאגף חיובי.

דוגמא

${\sqrt {x-4}}-2<{\sqrt {x-1}}$

קל לראות שאגף ימין חיובי תמיד (נמצא בו רק שורש). לעומת זאת, אין אנו יודעים מה סימנו של אגף שמאל. נבדוק מה קורה כאשר האגף שלילי וכאשר האגף חיובי.

אגף שלילי

אם האגף השמאלי שלילי, כלומר ערכי המשוואה הם ${\sqrt {x-4}}-2<0$ (דהינו x$x<8$) אז המשוואה תמיד נכונה לכל $x$ שנציב בביטוי ${\sqrt {x-4}}-2<0$ (מיד נבדוק אלו ערכים אלו) מפני שהאגף השמאלי תמיד יהא שלילי! לאור העובדה שהאגף הימיני תמיד חיובי ועל פי סמני המשוואה הוא גדול מהאגף שלילי, כל $x$ (המקיימים את הביטוי ${\sqrt {x-4}}-2<0$) שנציב תמיד יקיים את המשוואה.

נפתח את הביטוי כדי לראות באילו ערכים מדובר:

${\sqrt {x-4}}<2$

$\Updownarrow$

$x-4<2^{2}$

$\Updownarrow$

$x<8$

כלומר עבור כל ערך של $x$ שקטן משמונה, נקבל שאגף שמאל של אי-השוויון המקורי הוא שלילי ומכיון שאגף ימין תמיד אי-שלילי, אי-השוויון כולו מתקיים.

אגף אי שלילי

אם אגף שמאל אי-שלילי (למה בחרנו דוקא אי-שלילי?), כלומר ${\sqrt {x-4}}-2\geq 0$ , אזי שני האגפים יהיו חיוביים ונוכל להעלות את הביטוי בריבוע. ראשית נבדוק באילו ערכים מדובר:

${\sqrt {x-4}}\geq 2$

$\Updownarrow$

$x-4\geq 4$

$\Updownarrow$

$x\geq 8$

כעת נעלה את אי-השוויון המקורי בריבוע:

$x-4-2\cdot 2{\sqrt {x-4}}+4<x-1$

$\Updownarrow$

$x-4{\sqrt {x-4}}<x-1$

$\Updownarrow$

$-4{\sqrt {x-4}}<-1$

$\Updownarrow$

$4{\sqrt {x-4}}>1$

$\Updownarrow$

${\sqrt {x-4}}>{\frac {1}{4}}$

$\Updownarrow$

$x-4>{\frac {1}{16}}$

$\Updownarrow$

$x>4{\frac {1}{16}}$

כעת נחתוך את הערכים בהם מדובר כאן (סעיף זה) עם התוצאה ונקבל:

$x\geq 8$ וגם $x>4{\frac {1}{16}}$

$\Updownarrow$

$x\geq 8$

כעת יש לאחד את שני הפתרונות שיצאו משתי ההנחות (שיחד משלימות לכל ציר המספרים) בקשר של או:

$x\geq 8$ או $x<8$

כלומר כל $x$ , בריבוע (כמו במשוואות, גם באי-שוויונות העלאה בריבוע מוסיפה פתרונות). נקבל שהפתרון הוא חיתוך של $x\in \mathbb {R}$ עם תחום ההצבה שחישבנו בתחילת הדוגמא, וזה בדיוק תחום ההצבה.

כדאי לדעת: שיטת פתרון זו היא מעט מסובכת יותר, אך לא תמיד ניתן לפתור אי-שוויון בעזרת העלאה בריבוע. במקרים מסויימים, עלינו לחלק למקרים ולעתים שיטה זו פשוטה יותר משיטות אחרות.

הפרק הקודם: אי־שוויונות ממעלה שניה

אי-שוויונות עם שורשים תרגילים

הפרק הבא: אי־שוויונות עם ערך מוחלט