מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אי-שוויונות/אי-שוויונות ממעלה שניה

פתרון אי-שוויונות ממעלה שניה

שיטות הפתרון של אי-שוויונות ממעלה שניה שיוצגו פה מתבססות על ידע בסיסי מוקדם בחשבון דיפרנציאלי וחשבון אינטגרלי. הידע הנדרש הוא הכרה (בלבד) של פרבולה (במובן של פונקציה ריבועית).

לפתרון אי-שוויונות ממעלה שניה ישנה טכניקה שונה מהטכניקה לפתרון אי-שוויונות ממעלה ראשונה. הטכניקה לפתרון אי-שוויונות ריבועיים היא לצייר בקירוב גס את הפונקציה (על ציר $x$ בלבד - הסבר בהמשך), ולראות מתי היא קטנה או גדולה מ-0. לדוגמא:

$2x^{2}-8x<-6$

ראשית נפשט את הביטוי ונעביר את כל האברים לאגף אחד בלבד. כדאי ורצוי להעביר לאגף בו המקדם של $x^{2}$ (a) חיובי (שיקולי נוחות).

$2x^{2}-8x+6<0$

$\Updownarrow$

$x^{2}-4x+3<0$

כעת מה שנעשה הוא שלב עזר. נשווה את הביטוי שבאגף שמאל לאפס (משוואה), ונמצא את שורשי המשוואה.

$x^{2}-4x+3=0$

$x_{1,2}={\frac {4\pm {\sqrt {(-4)^{2}-4\cdot 1\cdot 3}}}{2\cdot 1}}={\frac {4\pm {\sqrt {4}}}{2}}={\frac {4\pm 2}{2}}$

$x_{1}={\frac {4+2}{2}}=3\quad ,\quad x_{2}={\frac {4-2}{2}}=1$

עכשיו משמצאנו את שורשי המשוואה, נוכל לשרטט את הפונקציה בקירוב גס (ואין צורך ביותר מזה):

כעת ניתן לראות, שהביטוי לעיל קטן מ-0 כאשר $1<x<3$ .

לחילופין אם היו שואלים מתי אי-השוויון המפורש (לאחר שפישטנו אותו) גדול מ-0, אזי הפתרון היה $x<1,x>3$

השיטה לפתרון

שלבי הפתרון של אי-שוויון ריבועי:

1. מפשטים את אי-השוויון למצב שכל האברים באגף מסוים.
2. אם יש צורך, מכפילים את המשוואה ב-1- כדי שהמקדם של $x^{2}$ יהיה חיובי.
3. משווים ל-0 ומוצאים את שורשי המשוואה $x_{1},x_{2}$ .
4. משרטטים ציר $x$ בלבד, מסמנים עליו את השורשים, ומשרטטים פרבולה ישרה ("מחייכת") (היא ישרה כי דאגנו שהמקדם של $x^{2}$ יהא חיובי. אלמלא דאגנו לכך, כי אז היה צורך לצייר את הפרבולה הפוכה).
5. בודקים איזה תחום נדרש מאיתנו (גדול או קטן מ-0) ומוצאים את התחום הזה בגרף.
6. רושמים את הפתרון.

כאשר אנו נדרשים להתיר אי-שוויון ריבועי וחישבנו ומצאנו כי שורשי הביטוי הריבועי הם $x_{1},x_{2}$ . בהנחה ש- $x_{1}>x_{2}$ אזי:

א. אם הביטוי הריבועי קטן מאפס אז הפתרון הוא מערכת וגם: $x_{2}<x<x_{1}$

ב. אם הביטוי הריבועי גדול מאפס אז הפתרון הוא מערכת או: $x<x_{2},x>x_{1}$

ניתן להבין את קביעה זו לפי הגרף הבא:

אי-שוויונות ריבועיים מיוחדים

לעתים מופיעים תרגילים בהם נדרשת הוכחה כי אי-שוויון מסוים מתקיים לכל ערך $x$ , או לא מתקיים עבור אף ערך $x$ וכו'. בסעיף זה נלמד כיצד לפתור שאלות מסוג זה.

מלימודינו בחשבון דיפרנציאלי ראינו כי המקדם של $x^{2}$ מלמד על צורתה של הפרבולה: ישרה ("מחייכת") או הפוכה ("בוכה/עצובה"). נלמד כעת תכונה נוספת של ביטויים ריבועיים:

כידוע, הנוסחה לפתרון משוואה ריבועית היא $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ . הביטוי שנמצא מתחת לשורש ($b^{2}-4ac$) נקרא דיסקרימיננטה ומסומן באות היוונית $\Delta$ (דלתא). לדלתא משמעות רבה לגבי צורת הגרף:

• כאשר הדיסקרימיננטה גדולה מ-0, לגרף של הביטוי הריבועי יש שתי נקודות חיתוך עם ציר $x$ .
• כאשר הדיסקרימיננטה שווה 0, לגרף של הביטוי הריבועי יש נקודת חיתוך אחת עם ציר $x$ (הגרף בעצם משיק לציר $x$).
• כאשר הדיסקרימיננטה קטנה מ-0, לגרף של הביטוי הריבועי אין נקודות חיתוך עם ציר $x$ .

כאשר יודעים את המקדם ה- $a$ של $x^{2}$ ואת הדיסקרימיננטה, ניתן לשרטט (באופן סכמטי, אך אין צורך ביותר מזה) את גרף הפונקציה. שרטוט גרף הפונקציה בעזרת מרכיבים אלו מאפשר לנו להוכיח ולפתור אי-שוויונות מעט יותר מורכבים. דוגמאות:

דוגמא 1

הוכח כי אי-השוויון $x^{2}-2x+1\geq 0$ מתקיים עבור כל ערך של איקס (ניסוחים אחרים: נכון עבור כל $x$ , נכון תמיד, סימון: $x\in \mathbb {R}$).

לפתרון שאלה זו שתי דרכים:

א. הדרך הרלוונטית לנו: שרטוט הגרף. בכדי לשרטט את הגרף נזדקק לשני נתונים הכרחיים: $a$ והדיסקרימיננטה. נוכל לראות כי $a=1>0$ , כלומר הפרבולה ישרה. שנית, נחשב את הדיסקרימיננטה:

$\Delta =b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4\cdot 1\cdot 1=4-4=0$

קיבלנו כי הדיסקרימיננטה שווה ל-0, כלומר לגרף הפונקציה נקודה אחת משותפת עם ציר $x$ (הגרף משיק לציר $x$). במונחי משוואות, למשוואה יש רק פתרון אחד. כעת נוכל לשרטט באופן סכמטי את גרף הפונקציה:

מכאן נוכל לראות שאכן הביטוי הריבועי תמיד גדול או שווה ל-0 (הוא תמיד מעל (או על) ציר $x$).

ב. דרך שניה היא לאלו מבינינו ששמו לב שמדובר בנוסחת כפל מקוצר. לכן:

$x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}$

וכידוע, ביטוי ריבועי תמיד גדול או שווה ל-0.

דוגמא 2

הוכח כי עבור כל ערך של איקס הביטוי $-x^{2}+5x-7$ שלילי.

שוב, כדי לפתור שאלה זו מה שנעשה הוא ננסה לצייר את הפונקציה, וכך נוכיח את נכונות הטענה. בכדי לצייר את הפונקציה, אנו זקוקים לפרמטר $a$ ולדיסקרימננטה. נבדוק את הפרמטרים:

• $a=-1<0$ שלילי.
• $\Delta =5^{2}-4\cdot (-1)\cdot (-7)=25-28=-3<0$ , כלומר הדיסקרימננטה שלילית גם כן.

משני נתונים אלו נוכל להסיק כי הפרבולה הפוכה, וכי אין לה נקודות חיתוך עם ציר $x$ . נצייר:

נוכל לראות מהגרף כי גרף הפונקציה נמצא תמיד מתחת לציר $x$ , כלומר תמיד שלילי. שוב, במונחים של משוואות, למשוואה הריבועית הזו אין אף פתרון. (בכך הוכחה הטענה)

הפרק הקודם: אי־שוויונות ממעלה ראשונה

אי-שוויונות ממעלה שניה תרגילים

הפרק הבא: אי־שוויונות עם שורשים