מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/בעיות מילוליות/בעיות תנועה/טבלה

הקדמה

טבלה עוזרת לנו לסדרת את הנתונים במקרא ומקלה על דרך הפתרון. הטבלה נראת כך :

זמן	מהירות	דרך
נתונים	נתונים	נתונים

כל שורה בטבלה מהווה משוואה אחת לתרגיל.

דוגמא

על מנת להבין את דרך הפתרון, נתחיל עם דוגמא:

• מכונית יצאה מעיר A לכיוון עיר B במהירות 80 קמ"ש. היא הגיעה לעיר B כעבור שעתיים. מצא את המרחק בין הערים.
• פתרון: נשרטט טבלה מהצורה הזו:

	$\ T$	$\ V$	$\ S$
מכונית	כאן נציב את הזמן	כאן נציב את המהירות	כאן תתקבל הדרך

לפי הכתוב בה, נציב את הנתונים מהשאלה (מהירות=80, זמן=שעתיים):

	$\ T$	$\ V$	$\ S$
מכונית	2	80	בהתאם לנוסחא: $2\cdot 80$

כעת נחשב: $2\cdot 80=160$

תשובה סופית: המרחק בין הערים הוא 160 ק"מ

אנו רואים, אם כך, שבכדי למצוא את הפתרון נצטרך להציב בנוסחא. הנה דוגמא נוספת:

• מכונית ורוכב אופניים יצאו בו זמנית מעיר A לעיר B. מהירות רוכב האופנים הייתה 15 קמ"ש, ומהירות המכונית 90 קמ"ש. המכונית הגיעה לעיר B ומייד חזרה לA. בדרכה חזרה היא עברה 5 ק"מ ופגשה את רוכב האופניים. מהו המרחק מעיר A לעיר B?

• פתרון: זוהי בעייה מעט יותר מסובכת. תחילה נסמן בX את המרחק מA לB. אנו יודעים שנקודת הפגישה היא 5 ק"מ מB. לכן, אנו יודעים שדרך האופניים היא X-5, כלומר, המרחק בין A לB פחות 5 ק"מ שהרוכב לא הספיק לעבור עד הפגישה. לעומתו, דרך המכונית תהיה X+5, שכן היא עברה את כל המרחק בין A לB, ועוד 5 ק"מ. כמו כן, אנו יודעים שהנוסחא הבסיסית מקבילה לנוסחא הזו: $T={S \over V}$, ולכן, כאשר נציב בה את הנתונים שברשותינו עד עכשיו, נקבל:

עבור המכונית: $T={X+5 \over 90}$

עבור האופניים: $T={X-5 \over 15}$

נציב בטבלה את כל הנתונים:

	$\ T$	$\ V$	$\ S$
מכונית	$T={X+5 \over 90}$	$\ 90$	$\ X+5$
רוכב אופניים	$T={X-5 \over 15}$	$\ 15$	$\ X-5$

כעת, כל מה שנותר, מכיוון שאנחנו יודעים שהם נסעו במשך אותו הזמן, הוא להשוות את הזמנים:

${X+5 \over 90}={X-5 \over 15}$

$X+5=6\cdot \left(X-5\right)$

$X+5=6\cdot X-30$

$35=5\cdot X$

X=7

מכיוון שאת המרחק סימנו בX, אז המרחק בין שתי הערים הוא 7 ק"מ

שאלות 2 טבלאות

שאלות בהן יש מערכת של משוואות :

• נעזר בשתי טבלאות או חישוב בע"פ.
• נפרק את השאלה לגורמים.

תרגול : בני גורן 006 עמוד 15 שאלה 5

דוגמא

שני רוכבים, האחד מנס ציונה והשני מאשדוד, יצאו זה לקראת זה. המרחק בין נס ציונה לאשדוד הוא 80 ק"מ. אחרי שעתיים המרחק בין הרוכבים היה 3 ק"מ. הרוכב שיצא מנס ציונה לאשדוד, נסע במשך שעה וחצי יותר מהרוכב שנסע מירושלים לנס ציונה. מצד V.

פישוט :

1. המרחק בין נס ציונה לאשדוד הוא 80.
2. אחרי שעתיים המרחק בין הרוכבים היה 3 ק"מ.
3. הרוכב שיצא מנס ציונה לאשדוד, נסע במשך שעה וחצי יותר מהרוכב שנסע מירושלים לנס ציונה. מצד V.

בנית הטבלאות:

טבלה 1

	$\ T$	$\ V$	$\ S$
נס ציונה	$\ 2$	$\ V_{1}$	$\ 77$
אשדוד	$\ 2$	$\ V_{2}$	$\ 77$

על פי סעיף 2 – המרחק בין שני הרוכבים היה 3 ק"מ, כלומר, שני הרוכבים נסעו יחד 80-3=77 ק"מ. כלומר :

• $\ S_{1}+S_{2}=S$
• $\ V_{1}\cdot T_{1}+V_{2}\cdot T_{2}=S$
• נציב נתונים : $\ V_{1}\cdot 2+V_{2}\cdot 2=77$

טבלה 2

	$\ T$	$\ V$	$\ S$
נס ציונה	$X+{\frac {1}{2}}$	$\ V_{1}$	$\ 80$
אשדוד	$\ x$	$\ V_{2}$	$\ 80$

השוואה בין הטבלאות

ישנם דרכים רבות להשוואות בין הטבלאות , לפי דעתי ההשוואה הפשוטה ביותר היא כפי שמסובר בהסבר של טבלה 1. כלומר, הצבת המהירות שהתקבלה בטבלה 2 בתרגיל : $\ V_{1}\cdot 2+V_{2}\cdot 2=77$.

דוגמא לדרך נוספת : בני גורן 006 עמוד 15 שאלה 4