מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חוקי החשבון/שורשים

שורש ריבועי

לפעולת השורש קרבה גדולה לפעולת החזקה. למעשה קיימות שתי פעולות אשר ניתן לומר עליהן שהן פעולות ההפוכות לחזקה. פעולה אחת היא פעולת הלוגריתם, אשר לא נדון בה כעת, והשניה היא הפעולה ההפוכה להעלאת בסיס בחזקה עם מעריך מסויים. זוהי פעולת השורש. השורש הנפוץ והשימושי ביותר הינו כמובן השורש הריבועי. שורש זה הוא הפעולה ההפוכה להעלאה בריבוע (חזקת 2). אילו העלינו מספר כלשהו, למשל 3 בריבוע, הפעולה שהיתה מחזירה את התוצאה חזרה ל-3 הינה פעולת השורש הריבועי. את פעולת השורש הריבועי של $a$ מסמנים כך

${\sqrt {a}}$

על מנת לנסות להמחיש את הפעולה לאשורה, ניקח למשל את המספר 25. ננסה למצוא שורש למספר זה. מכיוון שאנו כבר יודעים מראש ש-25 הוא מכפלה של 5 בעצמו, או במילים אחרות 5 בריבוע, הרי ששורש שלו הוא 5. כלומר

${\sqrt {25}}=5$

זאת מכיוון ש

${({\sqrt {25}})}^{2}={5}^{2}=25$

שורש מסדר $n$

השורש הריבועי הוא רק מקרה פרטי של שורשים. ניתן להעלות מספר בחזקת כל מספר טבעי. לכן, לכל מספר טבעי גם קיים שורש מהסדר שלו. לשורש זה קוראים שורש n-י. לדוגמה, לו הייתי מחפש שורש למספר שהועלה בשלישית הייתי מחפש שורש שלישי. שורש n-י מסומן כך

${\sqrt[{n}]{a}}$

כלומר פעולת השורש מסדר n צריכה לקיים

${({\sqrt[{n}]{a}})}^{n}={a}^{\frac {n}{n}}=a$

אנו כבר יכולים לנחש שאילו היינו רוצים לייצג את פעולת שורש כפעולה של חזקה (כשם שהחילוק היא למעשה פעולה של הכפל כלומר כפל בהופכי) היינו רוצים למצוא חזקה נכונה שתתאים לחוקי החזקות הקודמים שמצאנו ועדיין תקיים את כל התכונות של השורש. למזלנו, חזקה כזו כבר נמצאה, ולכן השורש כחזקה מוגדר באופן הבא

${\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}$

לדוגמא, שורש ריבועי ניתן גם לסמן כך

${\sqrt {a}}=a^{\frac {1}{2}}$

לדוגמא, בעזרת חוקי החזקה ניתן לחשב את השורש של 256 כך

${\sqrt {256}}=256^{\frac {1}{2}}={(2^{8})}^{\frac {1}{2}}={2^{8\cdot {\frac {1}{2}}}}=2^{4}=16$

הערה: נשים לב, שבמקרה שמדובר בשורש מסדר זוגי, קיימים שני מספרים אשר יכולים להתאים כתשובה לשאלה "איזה מספר בריבוע נותן את המספר שבשורש". אחד חיובי והשני שלילי. במובן של "מי באמת השורש" שתי התשובות נכונות. מכיוון שבמתמטיקה מעוניינים לחקור יותר לעומק את התכונות של השורשים הללו, כאשר מדובר בשורשים של מספרים ממשיים, אנו מקבלים את התשובה החיובית בלבד. זוהי הגדרה. אין להבין מכך שהשורש השלילי איננו שורש מחד, אך אין להציגו בחישוב שורשים מאידך. לסיכום, התוצאה של פעולת השורש מסדר זוגי, היא תמיד חיובית (במספרים הממשיים).

הגדרת השורש

שורש היא אחת מ-2 הפעולות ההפוכות לחזקה. (לחזקה יש 2 פעולות הפוכות כי זה פעולה בלי חוק חילוף. צריך פעולה הפוכה כדי לגלות את המעריך וצריך פעולה הפוכה כדי לגלות את הבסיס)
שורש היא הפעולה ההפוכה שעוזרת למצוא בסיס של חזקה כשהוא נעלם. כלומר, בהינתן $x^{n}=b$ ואנחנו רוצים לגלות מה x, נפעיל שורש. דוגמה לכך היא כשמישהו שואל את השאלה "איזה מספר צריך לכפול 5 פעמים בעצמו כדי לקבל 32". בעצם במתמטיקה הוא אומר איזה מספר x מקיים $x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x=32$? במילים אחרות, $x^{5}=32$ אז מה שווה x? התשובה היא $x={\sqrt[{5}]{32}}$ ואומרים "שורש חמישי של 32" והתשובה לכך היא בעצם 2 כי $2^{5}=32$.
באופן כללי אומרים ש- $a^{n}=b$ אם ורק אם $a={\sqrt[{n}]{b}}$
מקובל לקרוא לשורש שבו n=2 "שורש ריבועי" ולסמן את השורש הריבועי של a באופן הבא: ${\sqrt {a}}$ במקום ${\sqrt[{2}]{a}}$

ביטוי שורש לפי חזקה וכללי שורשים הנובעים מקשר זה

נסתכל על $a^{\frac {1}{n}}$ זהו מספר שאם נכפול אותו בעצמו n פעמים נקבל $(a^{\frac {1}{n}})^{n}=a^{{\frac {1}{n}}\cdot n}=a^{1}=a$ ולכן זהו מספר שאם נעלה אותו בחזקת n נקבל a, אבל זה בדיוק ההגדרה של שורש nי של a. לכן אפשר להסיק את הקשר הבא: $a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}$.
לדוגמה: $4^{\frac {1}{2}}={\sqrt[{2}]{4}}={\sqrt {4}}=2$.

מכאן ניתן להגיע לכלל החזקות: $a^{\frac {m}{n}}=a^{m\cdot {\frac {1}{n}}}=(a^{m})^{\frac {1}{n}}=(a^{\frac {1}{n}})^{m}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}=({\sqrt[{n}]{a}})^{m}$

חזקות של מספרים רציונליים

כזכור, מספרים רציונליים הינם מספרים אשר ניתן להציגם כמנה של מספרים שלמים (יתכן שליליים). קבוצה זו של מספרים מסומנת במתמטיקה באות המיוחדת $\mathbb {Q}$. למשל חצי או שליש או שני שליש הינם כולם מספרים רציונליים. כעת התקרבנו צעד נוסף לקראת הגדרת החזקה לכל מעריך. למעשה בעזרת הגדרת השורש כחזקה עם מעריך מסויים הגדרנו (בעזרתם של חוקי החזקה הנותרים) גם את החזקה לכל מעריך רציונלי. בזאת ניתן להווכח אם נתבונן במספר רציונלי כלשהו, למשל $r$ . את המספר הזה ניתן להציג כיחס של שני מספרים שלמים, אחד במונה והשני במכנה. נסמנם ב-$n$ וב $m$ בהתאמה. לכן ניתן לכתוב את המספר שלנו כך

$r={\frac {n}{m}}$

ומהסימונים שלנו ניתן גם לקבל ש

$a^{r}=a^{\frac {n}{m}}$

מכאן לפי חוקי החזקות לעיל ניתן גם להסיק את השוויון הבא.

$a^{r}=a^{\frac {n}{m}}=a^{{\frac {1}{m}}\cdot {n}}={(a^{\frac {1}{m}})}^{n}={({\sqrt[{m}]{a}})}^{n}$

כאשר ידוע ש a הוא מספר חיובי אז גם מתקיים

${\left({\sqrt[{m}]{a}}\right)}^{n}={\sqrt[{m}]{a^{n}}}$

אנו ממליצים למשתמש בספר זה להתבונן היטב ולוודא שהוא אכן מבין את כל אחד מהמעברים.

שורשים של מספרים שליליים ומעריכים אי-רציונליים

שורשים של מספרים שליליים מוגבלים לשורשים מסדר אי-זוגי, למשל 3,5 וכו'. זאת מכיוון שלא קיים מספר ממשי אשר כאשר מעלים אותו בריבוע מביא לתוצאה שלילית. מסיבה זו, גם חזקות של מעריכים לא שלמים מוגבלות באותו אופן. ההגדרה המדוייקת של חזקה של מספר אי-רציונלי אינה חלק מהחומר אשר אנו מקווים לכסות בספר זה. נדגיש כאן, עם זאת, שהעלאת מספר בחזקה אי רציונלית מוגדרת רק עבור בסיס אי שלילי.

סיכום

חוק	דוגמה
$a^{\frac {m}{n}}=({\sqrt[{n}]{a}})^{m}$	${\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}={\sqrt[{2}]{4}}={\sqrt {4}}=2}{\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}={\sqrt[{2}]{4}}={\sqrt {4}}=2}$
${\displaystyle {\sqrt[{n}]{ab}}=(ab)^{\frac {1}{n}}=a^{\frac {1}{n}}\cdot b^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}}$
${\sqrt[{n}]{a \over b}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}$
${\displaystyle {\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{a}}}=(a^{\frac {1}{n}})^{\frac {1}{m}}=a^{{\frac {1}{m}}\cdot {\frac {1}{n}}}=a^{\frac {1}{mn}}={\sqrt[{mn}]{a}}}$
${\displaystyle {\sqrt[{-n}]{a}}=a^{\frac {1}{-n}}=a^{-{\frac {1}{n}}}={\frac {1}{a^{\frac {1}{n}}}}={\frac {1}{\sqrt[{n}]{a}}}}$

הפרק הקודם: חוקי חשבון חזקות

חזקות ושורשים תרגילים

הפרק הבא: סוף הכרך