מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/חשבון במספרים מרוכבים

בדומה לפתרון של מספרים ממשיים, ניתן לבצע את כל הפעולות המתמטיות במספרים מרוכבים תוך שמירה על החלוקה בין מספרים מדומים וממשים.

בכפל חשוב לזכור כי $i^{2}=-1$.

בחילוק נעזר במספר צמוד על מנת לפתור את התרגיל.

חיבור וחיסור

חיבור וקטורים מתבצע במרחב באמצעות השלמה למקבלית

במערכת הצירים נזיז את אחד הווקטורים אל קצהו של הוקטור השני

נחבר או נחסר את החלק הממשי בממשי ואת המדומה בדומה. פעולת החיסור זהה לחלוטין משום שהיא שקולה לחיבור עם מספר נגדי ($z=-a-bi$).

באופן כללי, חיבור של שני מספרים מרוכבים מתבצע כך:

$(a+bi)\pm (c+di)=(a\pm c)+(b\pm d)i$ .

דוגמה 1: פעולת חיבור $(5+3i)+(7+2i)=(5+7)+(3+2)i=12+5i$ . כל מה שעשינו כאן היה לשנות את סדר הסכימה ולהוציא גורם משותף $i$ מהחלקים המדומים של המספרים.

דוגמה 2: פעולת חיבור $(5+3i)-(7+2i)=(5-7)+(3-2)i=-2+i$ .

כפל

נשתמש בכללי הכפל הרגילים עבור מספרים ממשיים, ונזכור כי $i^{2}=-1$ .

בהינתן שני איברים $z=a+bi$ ו-$w=c+di$ אותם נרצה לכפול זה בזה, נעזר בחוק הפילוג ונבצע:

${(a+bi)(c+di)=ac+bi\cdot c+adi+bi\cdot di=ac+bci+adi+bdi^{2}=ac+bci+adi-bd=(ac-bd)+(bc+ad)i}$ .

להלן מספר דוגמאות:

1. $(1+3i)\cdot 5=5+15i$
2. $(2+3i)(4i)=8i+12i^{2}=-12+8i$
3. $(4+2i)(-3+3i)=-12+12i-6i+6i^{2}=-12-6+12i-6i=-18+6i$

חילוק

חילוק היא הפעולה ההפוכה לכפל כלומר אם נרצה לחשב את המנה של לדוגמה, ${\frac {3+2i}{4+i}}$ אנחנו בעצם רוצים לחשב את המכפלה $(3+2i)\cdot {\frac {1}{4+i}}$. בכדי לפתור את התרגיל נרצה להציג את המספר המדומה ${\frac {1}{4+i}}$ במונה. מאחר שאיננו יודעים האם המכנה גדול או קטן באפס (ולכן אם נכפיל במכנה אנו עלולים לשנות את סימן האיבר), נכפיל את המכנה והמונה במספר הצמוד לאותו מספר .

מספר צמוד (${\bar {z}}$) - המספר הצמוד למספר $z=a+bi$ הוא המספר ${\bar {z}}=a-bi$

הכפלה במספר הצמוד תבטל את ערכו של ה-$i$ כי הוא נעלם בנוסחת הכפל המקוצר: $(a+bi)(a-bi)=a^{2}-b^{2}\cdot i^{2}=a^{2}+b^{2}$, וכך נשמור על ערכו של המספר.

${\frac {1}{4+i}}={\frac {1}{4+i}}\cdot {\frac {4-i}{4-i}}={\frac {4-i}{(4+i)(4-i)}}={\frac {4-i}{16-4i+4i-i^{2}}}={\frac {4-i}{16+1}}={\frac {4}{17}}-{\frac {i}{17}}$

כעת ניתן לבצע את פעולת החילוק:

$(3+2i)\cdot {\frac {1}{4+i}}=(3+2i)\cdot ({\frac {4}{17}}-{\frac {i}{17}})={\frac {12}{17}}+{\frac {2}{17}}+{\frac {8i}{17}}-{\frac {3i}{17}}={\frac {14}{17}}+{\frac {5i}{17}}$

הפרק הקודם: הגדרת המספרים המרוכבים

חשבון במספרים מרוכבים תרגילים

הפרק הבא: הצמוד המרוכב והערך המוחלט