עד עתה למדנו כיצד לבצע פעולות חשבון בסיסיות במספרים מרוכבים ואנו מסוגלים לפתור משוואות ממעלה ראשונה בהם. שיטת הפתרון של משוואות ריבועיות דומה לפתרון של משוואות ריבועיות במספרים ממשיים, בהבדל אחד: הדיסקרמיננטה שנקבל עשויה להיות מספר מרוכב, ולכן כדי לקבל את הפתרון נצטרך להיות מסוגלים להוציא שורש למספר מרוכב. נלמד כעת כיצד ניתן לבצע זאת.
הוצאת שורשים
עריכה
בכדי להוציא שורש למספר מדומה עלינו לעלות בשנייה את התרגיל במקום להוציא שורש.
דוגמה 1: הוצאת שורש
פתור את התרגיל
Z
2
=
9
−
40
i
{\displaystyle Z^{2}=9-40i}
ראשית אנו יודעים כי
z
=
a
+
b
i
{\displaystyle z=a+bi}
(
a
+
b
i
)
2
=
9
−
40
i
{\displaystyle (a+bi)^{2}=9-40i}
נפתח את הסוגריים באגף שמאל ונקבל:
a
2
+
2
a
b
i
−
b
2
=
9
−
40
i
{\displaystyle a^{2}+2abi-b^{2}=9-40i}
יש לנו שני משתנים
a
,
b
{\displaystyle a,b}
משוואות עם מספרים מרוכבים , עלינו להשוואות בין המספרים המדומים ובין המספרים הממשים. כלומר יש לנו שתי משוואות:
{
a
2
−
b
2
=
9
2
a
b
i
=
−
40
i
{\displaystyle {\begin{cases}a^{2}-b^{2}=9\\2abi=-40i\\\end{cases}}}
נחלץ את אחד מהנעלמים:
2
a
b
i
=
−
40
i
2
a
b
=
−
40
/
:
2
b
a
=
−
20
b
{\displaystyle {\begin{aligned}2abi=-40i\\2ab=-40/:2b\\a={\frac {-20}{b}}\\\end{aligned}}}
נציב במשוואה הראשונה:
a
2
−
b
2
=
9
(
−
20
b
)
2
−
b
2
=
9
400
b
2
−
b
4
=
9
400
−
b
4
=
9
b
2
b
4
+
9
b
2
−
400
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}-b^{2}=9\\\left({\frac {-20}{b}}\right)^{2}-b^{2}=9\\{\frac {400}{b^{2}}}-b^{4}=9\\400-b^{4}=9b^{2}\\b^{4}+9b^{2}-400=0\\\end{aligned}}}
נעזר בנוסחת השורשים
(
b
2
+
25
)
(
b
2
−
16
)
=
0
{\displaystyle (b^{2}+25)(b^{2}-16)=0}
b
=
±
4
{\displaystyle b=\pm 4}
נמצא את
a
{\displaystyle a}
b
=
4
,
b
=
−
4
{\displaystyle b=4\ ,\ b=-4}
a
=
−
20
4
a
=
−
5
a
=
−
20
−
4
a
=
5
{\displaystyle {\begin{aligned}a={\frac {-20}{4}}\\a=-5\\a={\frac {-20}{-4}}\\a=5\\\end{aligned}}}
פתרון:
z
=
5
−
4
i
{\displaystyle z=5-4i}
z
=
−
5
+
4
i
{\displaystyle z=-5+4i}
פתרון משוואות ריבועיות
עריכה
כעת נראה דוגמא לפתרון משוואה ריבועית. באופן כללי הרעיון זהה לרעיון של פתרון משוואות ריבועיות במספרים ממשיים: אם
a
z
2
+
b
z
+
c
=
0
{\displaystyle az^{2}+bz+c=0}
z
1
,
2
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle z_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
כל המקדמים (
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
נפתור את המשוואה הריבועיות
z
2
+
(
1
+
2
i
)
z
−
2
−
2
i
{\displaystyle z^{2}+(1+2i)z-2-2i}
במקרה זה:
a
=
1
,
b
=
1
+
2
i
,
c
=
−
(
2
+
2
i
)
{\displaystyle a=1\ ,\ b=1+2i\ ,\ c=-(2+2i)}
הדיסקרימיננטה היא:
b
2
−
4
a
c
=
(
1
+
2
i
)
2
+
4
(
2
+
2
i
)
=
1
+
4
i
−
4
+
8
+
8
i
=
5
+
12
i
{\displaystyle b^{2}-4ac=(1+2i)^{2}+4(2+2i)=1+4i-4+8+8i=5+12i}
וכבר ראינו כי
5
+
12
i
=
±
(
3
+
2
i
)
{\displaystyle {\sqrt {5+12i}}=\pm (3+2i)}
z
1
,
2
=
−
1
−
2
i
±
(
3
+
2
i
)
2
{\displaystyle z_{1,2}={\frac {-1-2i\pm (3+2i)}{2}}}
z
1
=
1
,
z
2
=
(
−
2
−
2
i
)
{\displaystyle z_{1}=1\ ,\ z_{2}=(-2-2i)}
תרגיל :
x
2
−
6
x
+
13
=
0
{\displaystyle x^{2}-6x+13=0}
כדי לפתור משוואה כזו, אנו משתמשים בנוסחה הרגילה לפתרון משוואה ריבועית. נקבל:
x
1
,
2
=
6
±
36
−
52
2
=
6
±
−
16
2
=
6
±
16
−
1
2
=
6
±
4
i
2
=
3
±
2
i
{\displaystyle x_{1,2}={\frac {6\pm {\sqrt {36-52}}}{2}}={\frac {6\pm {\sqrt {-16}}}{2}}={\frac {6\pm {\sqrt {16}}{\sqrt {-1}}}{2}}={\frac {6\pm 4i}{2}}=3\pm 2i}
קיבלו שתי פתרונות שהם מספרים מרוכבים.
נוסחאות וייטה
עריכה
ייתכן כי כבר נתקלתם בנוסחאות וייטה בחקירת משוואות ריבועיות במספרים ממשיים. הן תקפות גם עבור מספרים מרוכבים, ונראה זאת כאן.
נוסחאות וייטה עוסקות בצורה של סכום ומכפלה של שני הפתרונות של משוואה ריבועית. מסתבר שכדי לדעת את הסכום והמכפלה די לדעת את מקדמי המשוואה. נראה זאת.
תהא
a
z
2
+
b
z
+
c
{\displaystyle az^{2}+bz+c}
z
1
=
−
b
+
b
2
−
4
a
c
2
a
,
z
2
=
−
b
−
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle z_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ ,\ z_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
ולכן:
z
1
+
z
2
=
−
b
+
b
2
−
4
a
c
−
b
−
b
2
−
4
a
c
2
a
=
−
2
b
2
a
=
−
b
a
{\displaystyle z_{1}+z_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {-2b}{2a}}=-{\frac {b}{a}}}
z
1
⋅
z
2
=
(
−
b
+
b
2
−
4
a
c
)
(
−
b
−
b
2
−
4
a
c
)
4
a
2
=
b
2
−
b
2
+
4
a
c
4
a
2
=
4
a
c
4
a
2
=
c
a
{\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}={\frac {(-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}})(-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}})}{4a^{2}}}={\frac {b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}}}={\frac {4ac}{4a^{2}}}={\frac {c}{a}}}
קיבלנו את שתי נוסחאות וייטה:
z
1
+
z
2
=
−
b
a
{\displaystyle z_{1}+z_{2}=-{\frac {b}{a}}}
z
1
⋅
z
2
=
c
a
{\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}={\frac {c}{a}}}
