מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/הצמוד המרוכב והערך המוחלט

בפרק הקודם ראינו כי לכל מספר מרוכב $z=a+bi$ ניתן להתאים מספר שנקרא הצמוד שלו. נסמנו ${\bar {z}}$ (קו מעל הסימן שמסמל את המספר), והוא יוגדר כך: ${\bar {z}}=a-bi$ . כלומר, הצמוד של מספר כלשהו הוא מספר שזהה לו פרט לסימן החלק המדומה שלו.

מייד מההגדרה נובעות כמה תכונות:

1. ${\bar {\bar {z}}}=z$ . כלומר, הצמוד של הצמוד של $z$ הוא $z$ עצמו.
2. ${\overline {z_{1}+z_{2}}}={\overline {z_{1}}}+{\overline {z_{2}}}$ . כלומר, הצמוד של סכום של מספרים מרוכבים הוא הסכום של הצמודים של אותם מספרים.
3. ${\overline {z_{1}\cdot z_{2}}}={\overline {z_{1}}}\cdot {\overline {z_{2}}}$ . כלומר, הצמוד של מכפלה של מספרים מרוכבים הוא המכפלה של הצמודים של אותם מספרים.
4. $z+{\bar {z}}=2\cdot {\mbox{Re}}(z)$ . כלומר, הסכום של מספר מרוכב והצמוד שלו שווה לפעמיים החלק הממשי של אותו מספר.
5. $z-{\bar {z}}=2\cdot {\mbox{Im}}(z)i$ . כלומר, ההפרש בין מספר מרוכב והצמוד שלו שווה לפעמיים המספר המדומה $i$ כפול החלק המדומה של $z$ .
6. מתקיים $z={\bar {z}}$ אם ורק אם $z$ הוא מספר ממשי. כלומר, אם מספר מרוכב שווה לצמוד שלו הוא ממשי, וכל מספר ממשי שווה לצמוד שלו.

לא קשה להוכיח תכונות אלו - נסו לעשות זאת בעצמכם על-ידי כתיבת המספר $z$ בצורה המפורשת $z=a+bi$ .

הקשר בין הצמוד המרוכב והערך המוחלט

הגדרנו את הערך המוחלט עבור מספר מרוכב בצורה הבאה: אם $z=a+bi$ אז $|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ .

נעמוד כעת על שני קשרים בסיסיים בין הערך המוחלט והצמוד המרוכב:

1. $|z|=|{\bar {z}}|$ . כלומר, הערך המוחלט של מספר זהה לערך המוחלט של הצמוד שלו.
2. $z\cdot {\bar {z}}=|z|^{2}$ . כלומר, מספר כפול הצמוד שלו שווה לערך המוחלט שלו בריבוע. בפרט זהו מספר ממשי שכן הערך המוחלט של מספר הוא תמיד ממשי.

כדי לראות שהתכונה השניה מתקיימת, נשים לב כי $z\cdot {\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=a^{2}-b^{2}i^{2}=a^{2}+b^{2}={\big (}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{\big )}^{2}$ .

נשים לב כי זוהי התכונה שעל קיומה עמדנו בפרק הקודם, ובה השתמשנו כדי לחשב את המנה ${\frac {1}{z}}$ . כעת נשתמש בתכונות שראינו ונכתוב בצורה כללית:

• אם $z\neq 0$ אז ${\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}$ .

למעשה לא חידשנו כאן דבר - ההוכחה של תכונה זו היא מיידית וזהה ל"תעלול" שנקטנו בפרק הקודם. פשוט נכפול את המונה והמכנה של השבר ${\frac {1}{z}}$ בצמוד של $z$ , ובכך לא נשנה את ערך המספר כי אנו כופלים אותו ב-1.

נשים לב כי הדרישה $z\neq 0$ היא הכרחית מהטעם הפשוט שאין מובן לביטוי ${\frac {1}{0}}$ והוא נותר לרוב בלתי-מוגדר.

תכונות של הערך המוחלט

כעת נשים לב למספר תכונות יסודיות של הערך המוחלט:

1. $|z|\geq 0$ ומתקיים $|z|=0$ אם ורק אם $z=0$ .
2. ${\Big |}z_{1}\cdot z_{2}{\Big |}=|z_{1}|\cdot |z_{2}|$ .
3. ${\Big |}z_{1}+z_{2}{\Big |}\leq |z_{1}|+|z_{2}|$ .
4. $|-z|=|z|$ .

נשים לב במיוחד לתכונה מספר 3. תכונה זו מכונה אי-שוויון המשולש, וקיימים לה שימושים רבים. בפרק העוסק במישור המרוכב יוסבר מדוע תכונה זו נקראת כך.

הפרק הקודם: חשבון במספרים מרוכבים

הצמוד המרוכב והערך המוחלט תרגילים

הפרק הבא: הוצאת שורשים ומשוואות ריבועיות