מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/הצמוד המרוכב והערך המוחלט

בפרק הקודם ראינו כי לכל מספר מרוכב ניתן להתאים מספר שנקרא הצמוד שלו. נסמנו (קו מעל הסימן שמסמל את המספר), והוא יוגדר כך: . כלומר, הצמוד של מספר כלשהו הוא מספר שזהה לו פרט לסימן החלק המדומה שלו.

מייד מההגדרה נובעות כמה תכונות:

  1. . כלומר, הצמוד של הצמוד של הוא עצמו.
  2. . כלומר, הצמוד של סכום של מספרים מרוכבים הוא הסכום של הצמודים של אותם מספרים.
  3. . כלומר, הצמוד של מכפלה של מספרים מרוכבים הוא המכפלה של הצמודים של אותם מספרים.
  4. . כלומר, הסכום של מספר מרוכב והצמוד שלו שווה לפעמיים החלק הממשי של אותו מספר.
  5. . כלומר, ההפרש בין מספר מרוכב והצמוד שלו שווה לפעמיים המספר המדומה כפול החלק המדומה של .
  6. מתקיים אם ורק אם הוא מספר ממשי. כלומר, אם מספר מרוכב שווה לצמוד שלו הוא ממשי, וכל מספר ממשי שווה לצמוד שלו.

לא קשה להוכיח תכונות אלו - נסו לעשות זאת בעצמכם על-ידי כתיבת המספר בצורה המפורשת .

הקשר בין הצמוד המרוכב והערך המוחלטעריכה

הגדרנו את הערך המוחלט עבור מספר מרוכב בצורה הבאה: אם   אז   .

נעמוד כעת על שני קשרים בסיסיים בין הערך המוחלט והצמוד המרוכב:

  1.   . כלומר, הערך המוחלט של מספר זהה לערך המוחלט של הצמוד שלו.
  2.   . כלומר, מספר כפול הצמוד שלו שווה לערך המוחלט שלו בריבוע. בפרט זהו מספר ממשי שכן הערך המוחלט של מספר הוא תמיד ממשי.

כדי לראות שהתכונה השניה מתקיימת, נשים לב כי   .

נשים לב כי זוהי התכונה שעל קיומה עמדנו בפרק הקודם, ובה השתמשנו כדי לחשב את המנה   . כעת נשתמש בתכונות שראינו ונכתוב בצורה כללית:

  • אם   אז   .

למעשה לא חידשנו כאן דבר - ההוכחה של תכונה זו היא מיידית וזהה ל"תעלול" שנקטנו בפרק הקודם. פשוט נכפול את המונה והמכנה של השבר   בצמוד של   , ובכך לא נשנה את ערך המספר כי אנו כופלים אותו ב-1.

נשים לב כי הדרישה   היא הכרחית מהטעם הפשוט שאין מובן לביטוי   והוא נותר לרוב בלתי-מוגדר.

תכונות של הערך המוחלטעריכה

כעת נשים לב למספר תכונות יסודיות של הערך המוחלט:

  1.   ומתקיים   אם ורק אם   .
  2.   .
  3.   .
  4.   .

נשים לב במיוחד לתכונה מספר 3. תכונה זו מכונה אי-שוויון המשולש, וקיימים לה שימושים רבים. בפרק העוסק במישור המרוכב יוסבר מדוע תכונה זו נקראת כך.


הפרק הקודם:
חשבון במספרים מרוכבים
הצמוד המרוכב והערך המוחלט
תרגילים
הפרק הבא:
הוצאת שורשים ומשוואות ריבועיות