מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/אי-שוויונות מעריכיים

הגדרה

אי-שוויונות מעריכיים הם אי-שוויונות בהם מופיע משתנה במעריך של חזקה. דוגמא לכך היא: $2^{x}>8$

כאמור, בכדי לפתור תרגילים עם מעריכים הבסיסים $a$ חייבים להיות חיוביים.

אופן הפתרון

נבצע את השלבים הבאים:

נייצר משוואה עם בסיסים זהים
תחום הגדרה - כאשר הבסיס הוא עם נעלמים יש לבדוק כל מצב. במידה והבסיס הוא מספר נצטרך לבדוק איזה תנאי הוא ממלא מהבאים ולפיו לפתור:
- בסיס גדול מ-1 - כיוון אי השיוויון נשמר. למה? אם $a>1$ (פונקציה עולה) נוכל לטעון כי ככל שמעריך החזקה יגדל כך החזקה עצמה תגדל. לדוגמא: $2^{x}$ , ככל ש- $x$ גדל כך החזקה תגדל. כיון שכך, אזי כיוון אי-השוויון יהיה זהה לכיוון אי-השוויון בין החזקות.
הבסיס בין אפס לאחד.
- אם $0<a<1$ כיוון אי השיוויון משתנה. למה? נוכל לטעון כי ככל שמעריך החזקה יגדל כך החזקה עצמה תקטן, מפני שאנו מכפילים בסיס בשבר המקטין את התוצאה.

לדוגמא:

\left({\frac {1}{2}}\right)^{x}

, ככל ש-

x

גדל כך נכפול את החצי בעצמו יותר פעמים, מה שיקטין את התוצאה. כיון שכך, אזי כיוון אי-השוויון בין המעריכים יהיה הפוך לכיוון אי-השוויון בין החזקות.

דוגמאות

דוגמה 1: בסיס קבוע כאשר $a>1$

בדרך פתרון זו, אנו נהפוך את שתי החזקות, לחזקות עם בסיסים שלמים:

\left({\frac {1}{4^{2}}}\right)^{x^{2}-3x}<\left({\frac {1}{4}}\right)^{-4.5}

לפי חוקי חזקות (חוק של חזקה במכנה), נקבל:

(4^{-2})^{x^{2}-3x}<(4^{-1})^{-4.5}

נמשיך לפתור ע"פ חוקי חזקות:

4^{-2(x^{2}-3x)}<4^{4.5}

עתה הבסיסים שווים. כיון שהבסיס (המשותף) $4>1$ , אז כיוון אי-השוויון של המעריכים זהה לכיוון אי-השוויון היסודי:

{\begin{matrix}-2(x^{2}-3x)<4.5\\-2x^{2}+6x<4.5\\2x^{2}-6x+4.5>0\end{matrix}}

לפנינו נוסחא לביטוי ריבועי (הנוסחא השניה). מכאן:

{\begin{matrix}(x-1.5)^{2}>0\\x\neq 1.5\end{matrix}}

וזהו הפתרון.

דוגמה 2: בסיס קבוע כאשר $0<a<1$

\left({\frac {1}{16}}\right)^{x^{2}-3x}<\left({\frac {1}{4}}\right)^{-4.5}

אנו שמים לב כי ${\frac {1}{16}}=\left({\frac {1}{4}}\right)^{2}$ . מכאן:

\left({\frac {1}{4}}\right)^{2(x^{2}-3x)}<\left({\frac {1}{4}}\right)^{-4.5}

עתה הבסיסים שווים. כיון שהבסיס (המשותף) $0<{\frac {1}{4}}<1$ , כיוון אי-השוויון בין המעריכים הפוך לכיוון אי-השוויון היסודי (כי שבר כמו 1/2 קטן ככל שהמעריך גדל):

{\begin{matrix}2(x^{2}-3x)>-4.5\\2x^{2}-6x>-4.5\\2x^{2}-6x+4.5>0\\x^{2}-3x+2.25>0\end{matrix}}

לפנינו נוסחא לביטוי ריבועי (הנוסחא השניה). מכאן:

{\begin{matrix}(x-1.5)^{2}>0\\x\neq 1.5\end{matrix}}

וזהו הפתרון.

דוגמה 3: בסיס משתנה $(3-x)^{3x}>(3-x)^{x^{2}}$

כאן, המשתנה מופיע הן במעריכי החזקות והן בבסיסיהן. לכן יש לבדוק את תחום ההגדרה. בתחום ההגדרה נכללים רק בסיסים חיוביים.(בסיס שלילי הופך את הסימנים ונותן תשובות בתמונת ראי ). מכיוון שהבסיס זהה בשתי החזקות, נבדוק מתי הוא חיובי: