מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות/בסיס

מה היא משוואה

משוואה הנה אמירה מתמטית, אשר מסמנת שוויון בין שני צדדים של הסימן =. כלומר זהו פסוק אשר משמעותו היא ששני הצדדים של סימן השוויון מתארים את אותו מספר.

כל משוואה מכילה את סימן השוויון (=) ומשני צדדיו יופיעו ביטויים מתמטיים.

בכל משוואה קיים לפחות נעלם אחד. נעלם הנו סימן מתמטי אשר יבוא במקום מספר כלשהו אשר אותו איננו יודעים.בשלב ראשון נדבר על פתרון המשוואה. פתרון למשוואה הינו ערך מספרי אשר אותו ניתן להציב במקום הנעלם ולקבל ביטוי מתמטי אמיתי (פסוק אמת). לעיתים ניתן להציב יותר ממספר אחד במקום הנעלם, אך בשלב זה, אנו לא נתייחס לעובדה זו. נהוג לסמן נעלמים באות הלטינית $x$ אך אין זה הכרחי. למעשה כל אות אשר אינה מסמנת מספר קבוע אחר יכולה לשמש כנעלם, ולעיתים מסמנים נעלמים שונים בעזרת אינדקסים שונים כפי שנראה בהמשך.

דוגמאות

• הדוגמא החשובה ביותר של משוואה היא משוואה ממעלה ראשונה בנעלם אחד אשר ידועה גם בשמה השני משוואה לינארית בנעלם אחד: משוואה שבה הנעלם לא מופיע בחזקה גבוהה מאחד, כלומר לא מופיעים, למשל, $x^{2}$ . לדוגמא: $x+1=4$ . נשים לב, שהערך $x=3$ מקיים את השוויון, שכן $3+1=4$ ועל כן הוא יקרא פתרון של המשוואה הנ"ל.
• משוואה בנעלם אחד בחזקה גבוהה: לדוגמא: $x^{3}+34-4=x^{5}$ . כאן החזקה הגבוהה ביותר של הנעלם היא 5. במקרה זה לא קל לראות מהו פתרון של המשוואה, או אם בכלל ישנו פתרון כזה.

חלק ניכר מהאלגברה עוסק בפתרון משוואות. בנוסף, מנסים מתמטיקאים למצוא כללים שיחלקו את המשוואות לסוגים (כפי שעשינו למעלה), וכן למצוא שיטות לפתרון משוואות.

על נקלה נוכל לראות שקיימות משוואות אשר לא ניתן למצוא להן פתרון בקבוצת המספרים הממשיים כלל כלומר לא קיים מספר שנוכל להציב במקום הנעלם ולקבל פסוק אמיתי. לדוגמא, למשוואה $x^{2}=-1$ אין פתרון במספרים ממשיים כי אין מספר שאם נכפול אותו בעצמו נקבל מספר שלילי (מספר שלילי כפול מספר שלילי הוא מספר חיובי).

סוגי משוואות

בבואנו לפתור משוואה מסוימת כדאי לנו ראשית לאפיין אותה, על מנת לדעת איך לגשת לפתרונה. לשם כך, נחלק את המשוואות למספר תחומים, כאשר משוואה יכולה להיות בכמה קטגוריות בו זמנית, או באף אחת מהן. נחלק, אם-כן, את המשוואות לקטגוריות הבאות:

• משוואות בנעלם אחד - משוואות בהן ישנו רק נעלם אחד (לרוב יסומן ב- $x$).
• משוואות בשני נעלמים או יותר - משוואות בהן נדרש למצוא את הערכים המתאימים ליותר מנעלם אחד.
• משוואות לינאריות - משוואות בהן מופיעים הנעלמים בגפם, כשלכל היותר הם מוכפלים במספר קבוע.
• משוואה ריבועית בנעלם אחד (משוואה ממעלה שניה) - זהו סוג משוואות בעל חשיבות רבה ועל כן מוקדש לו שם נפרד. זוהי משוואה בה הנעלם מופיע בחזקה שניה (ופחות) $x^{2}$ . אנו נלמד כיצד ניתן לפתור משוואות מסוג זה.
• משוואה ממעלה גבוהה - הנעלם מופיע בחזקה גבוהה מ-2. ניתן לפתור משוואות כאלו עד החזקה הרביעית בצורה שיטתית, אם כי נושא זה אינו בחומר לבגרות לעת עתה. נציין כי ברוב המקרים בהם המשוואה היא ממעלה גבוהה יותר מ-4 לא רק שאין שיטה לפתרון, אלא לעתים לא ניתן לפתור אותה כלל. אך בספר זה לא ניכנס לדקויות של נושא סבוך זה.

הפרק הקודם: משוואות (מבוא)

בסיס תרגילים

הפרק הבא: משוואות פשוטות בנעלם אחד