מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות פשוטות בנעלם אחד

משוואות פשוטות בנעלם אחד

פתרון משואות

כעת נראה שיטה כללית שבעזרתה ניתן לפתור כל משוואה בנעלם יחיד. כל עוד נעבוד לפי שיטה זו נראה שתמיד ניתן למצוא פתרון למשוואה. כלומר תמיד נוכל למצוא מספר שנוכל לשים במקום הנעלם והמשוואה תהפוך לשוויון ברור מאליו כמו למשל $3=3$ .

ראשית, נדגיש שמכיון שבשני הצדדים של המשוואה כתוב בעצם אותו המספר בדיוק, הרי שאם נבצע את אותה פעולה על שני הצדדים, הם עדיין יהיו שווים אחד לשני, כי למעשה ביצענו את אותה פעולה על אותם המספרים. נוכל לדמות זאת למאזניים שבכל צד ישנו אותו משקל. ברור שאם המאזניים מאוזנים (כלומר קיים אותו מספר בשני צדי השוויון) אז כל הוספה של משקלים שווים לשתי הכפות של המאזניים לא תפר את שיווי המשקל שלה. כך גם הכפלה של המשקלים בשני הצדדים וכו'. אנו ננצל עובדה זו לפתרון כמעט כל סוגי המשוואות ובפרט גם סוג פשוט זה.

חילוץ הנעלם

חילוץ הנעלם הנה פעולה שבה אנו מביאים משוואה למצב שבו ברור מאליו לאיזה ערך מספרי מתאים הנעלם. במילים אחרות, זהו מצב שבו הנעלם נמצא בצד אחד של המשוואה, ואילו בצד השני מופיעים רק קבועים. ניקח לדוגמא את המקרה של המשוואה הבאה: $$x+3=5$$ זוהי משוואה פשוטה למדי שקל לנחש איזה מספר צריך להציב במקום הנעלם (מספר 2) $x$ על-מנת לקבל שוויון מובן מאליו, אך נשתמש בה כדי להדגים את פעולת חילוץ הנעלם ופתירת המשוואה.

חיבור או חיסור במספר כלשהו

ברור מאנלוגית המאזניים שלנו, שכל חיבור או חיסור של מספר כלשהו משני הצדדים (מרגע זה אנו נקרא לצדדים אגפים) של המשוואה לא ישנה את עובדת השוויון. כיון שאנו מעונינים לחלץ את הנעלם, אנו מעונינים שהנעלם יהיה בצד אחד ללא קבועים לכן נרצה לחסר מאגף שמאל של המשוואה את הקבוע 3 אך מכיון שלא ניתן לחסר רק מאגף שמאל ועדיין לשמור על השוויון הרי שחובה עלינו גם לחסר את אותו מספר גם מאגף ימין. נקבל: $$(x+3)-3=(5)-3$$

כדאי לדעת: הדרך הנפוצה "להיפטר" מאבר חופשי היא העברת אגף, לוקחים את המספר ומעבירים אותו לאגף השני ומשנים לו את הסימן. זאת בעצם הפעולה שעשינו עכשיו אחרי שמחשבים את צד שמאל, האבר נעלם כי מחסרים אותו באותו המספר ומצד שמאל מופיע המספר הנגדי של האבר.

ולאחר חישוב פשוט נגיע למשוואה:

$x=2$

וזהו! פתרנו את המשוואה ומצאנו לאיזה מספר $x$ שווה. עכשיו ננסה לפתור משוואה בה ל-$x$ יש מקדם.

חילוץ נעלם עם מקדם

המקדם זהו המספר המוכפל בנעלם, במקרה שלנו $x$ .

במשוואות כאלה גם אם נבודד את הנעלם עדיין לא נקבל משוואה ברורה של מה $x$ שווה. לכן אחרי שנבודד נעשה פעולה נוספת. ניקח לדוגמא את המקרה של המשוואה הבאה: $${\frac {3}{4}}x+{\frac {5}{3}}=2-1$$ נתחיל לפתור אותה כמו שפתרנו את המשוואה הקודמת, בהתחלה נעביר אגף את האבר החופשי: $${\begin{matrix}{\dfrac {3}{4}}x=2-1-{\dfrac {5}{3}}\\{\dfrac {3}{4}}x=-{\dfrac {2}{3}}\end{matrix}}$$

כעת יש לנו את הנעלם באגף שמאל וקבוע באגף ימין אך לא סיימנו, מכיון שהנעלם אינו חופשי. הוא מוכפל בשלושה רבעים. על מנת לפתור זאת נבצע פעולת חילוק:

אנו מעונינים לסלק את המקדם של $x$ או במילים אחרות להפכו ל-1. כדי לעשות זאת כל שעלינו לעשות זה לחלק את הנעלם במספר שהוא מוכפל בו, אך אנחנו לא יכולים לעשות פעולה מסויימת רק על צד אחד כמו שכבר למדנו אז נבצע אותה על שני הצדדים: $${\begin{matrix}{\dfrac {3}{4}}x=-{\dfrac {2}{3}}\\\\\left({\dfrac {3}{4}}x\right):{\dfrac {3}{4}}=\left(-{\dfrac {2}{3}}\right):{\dfrac {3}{4}}\\\\1\cdot x=-{\dfrac {2}{3}}\cdot {\dfrac {4}{3}}\\\\x=-{\dfrac {8}{9}}\end{matrix}}$$ ובזאת למעשה חילצנו את הנעלם שלנו כפי שנדרש.

בדיקה

על-מנת להיות בטוחים שצדקנו בדרכנו ולא טעינו, כל שעלנו לעשות זה להציב את התוצאה שקיבלנו במשוואה המקורית. $${\begin{matrix}{\dfrac {3}{4}}x+{\dfrac {5}{3}}=2-1\\\\{\dfrac {3}{4}}\left(-{\dfrac {8}{9}}\right)+{\dfrac {5}{3}}=2-1\\\\-{\dfrac {24}{36}}+{\dfrac {5}{3}}=2-1\\\\1=1\end{matrix}}$$

ומכאן ברור שזהו פסוק אמיתי ולכן קיבלנו פתרון של המשוואה המקורית כפי שנדרשנו.

הפרק הקודם: בסיס

משוואות פשוטות בנעלם אחד תרגילים

הפרק הבא: הפעולות המותרות