מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות/הפעולות המותרות

הפעולות המותרות

ראשית נגדיר את מושג הפעולה על משוואה. הגדרה זו היא כמעט ברורה מאליה. לפי האנלוגיה שלנו שהצגנו בפרק בסיס של מאזניים, אמרנו שמותר לנו לבצע את אותה הפעולה על שני האגפים של המשוואה מכיוון שבכל כף של המאזניים רשום אותו המספר אז ברור שהשוויון ישמר. לכן, נאמר שפעולה על משוואה היא כל פעולה מתמטית אשר מתבצעת על שני האגפים באופן זהה. כלומר, למשל, פעולת החיבור שהוזכרה בפרק הקודם היא פעולה על המשוואה כי היא נעשית על שני האגפים באותו אופן. בפרק הקודם הקפנו את כל האגפים בסוגרים לפני שביצענו את החיבור. ברור שבמקרה של חיבור אין שום צורך בכך אך עשינו זאת על-מנת להדגיש שהפעולה מתבצעת על האגף כולו ולא רק על מספר אחד בכל פעם. את חשיבות קביעה זו ניתן לראות גם בפרק הקודם בו כפלנו את שני אגפי המשוואה במספר קבוע שאינו 0. גם פה הקפנו את האגפים בסוגרים, רק שפה ברור שהתוצאה היתה שונה אלמלא הינו עושים כן.

כעת נסביר למה אנו מתכוונים כאשר אנו אומרים את המושג פעולה מותרת. בכל עת שבה אנו מבצעים את אותה הפעולה בשני האגפים אין לנו סיבה לחשוש שאנו מפרים את סימן השוויון. למרות זאת, אין זה אומר שכל פעולה על משוואה לא תשנה את הפתרון של המשוואה. למעשה, ישנן פעולות שיכולות ליצור פתרונות נוספים ואפילו ישנן פעולות שיכולות להפוך את המשוואה שלנו לחסרת תוכן.

פעולה כגון זו היא למשל הכפלת שני האגפים ב-0. ניקח לדוגמא את המשוואה שראינו בפרק הקודם. $${\frac {3}{4}}x+{\frac {5}{3}}=2-1$$ וכעת נכפיל את שני אגפי המשוואה ב-0. נקבל: $${\begin{matrix}0\cdot \left({\dfrac {3}{4}}x+{\dfrac {5}{3}}\right)=0\cdot (2-1)\\0=0\end{matrix}}$$ קיבלנו כי $0=0$ . זו אינה עובדה חדשה. ולמעשה ידענו זאת עוד לפני שבכלל התחלנו לעסוק במשוואות. הפעולה של הכפלה ב-0 לא הפכה את השוויון ללא נכון, היא למעשה הפכה את המשוואה לחסרת תוכן. אם נחזור שוב לאנלוגיה של המאזניים, זה כמו לנקות את כפות המאזניים. זה ברור שאם הכפות ריקות המאזניים ישארו מאוזנים, אבל לא ישאר לנו שום מידע לגבי מה היה שם קודם. במקרה הזה, אנו רואים שניתן להציב במשוואה החדשה כל ערך של $x$ ועדיין לקבל פסוק אמיתי, פשוט כיון ש-$x$ לא מופיע כלל במשוואה. קיבלנו שכל המספרים הם פתרון למשוואה אבל זה לא נכון למשוואה המקורית. כלומר, פעולת ההכפלה ב-0 היא פעולה שמוסיפה פתרונות. מכאן אנו קובעים שהיא פעולה אסורה. אנו נדון בפעולות אסורות מיוחדות, אם כי ברור שרוב הפעולות הן אסורות ולא נוכל לכסות את כולן, ואף לא חלק קטן מהן. במקום זאת, נעבור על הפעולות המותרות הפשוטות ביותר.

פעולה שמתבצעת על משוואה תסומן על-ידי קו אלכסוני ואחריו שם הפעולה. למשל, פעולת חיבור שני האגפים ב-5 תסומן כך: $${\frac {3}{4}}x=2\quad /+5$$

הפעולות המותרות החשובות ביותר הן:

חיבור או חיסור במספר

ניתן לבצע פעולת חיבור או חיסור של כל מספר על משוואה. זה כולל גם חיבור או חיסור של הנעלם עצמו. פעולה זו לא יכולה להוסיף פתרונות כפי שפעולת ההכפלה ב-0 יכולה. דוגמא לחיבור של מספר קבוע (קבוע בניגוד למספר המכיל את נעלם) ניתן למצוא בפרק הקודם. כעת נציג דוגמא לשימוש בפעולה זו על-מנת ל"העביר" נעלם מאגף לאגף. $${\frac {3}{4}}x+{\frac {5}{3}}=2x+3$$ נחסר משני האגפים $2x$ ונקבל: $${\begin{matrix}\left({\dfrac {3}{4}}x+{\dfrac {5}{3}}\right)-2x=(2x+3)-2x\\\\{\dfrac {3}{4}}x-2x+{\dfrac {5}{3}}=2x-2x+3\\\\-{\dfrac {5}{4}}x+{\dfrac {5}{3}}=0+3\end{matrix}}$$ או במילים אחרות $$-{\frac {5}{4}}x+{\frac {5}{3}}=3$$ שוב קיבלנו משוואה פשוטה ביותר שאותה ניתן לפתור באופן שפתרנו בפרק הקודם.

כפל במספר שאינו 0

כפל במספר שאינו 0 אף הוא פעולה מותרת. כאן יש לשים לב שבמרבית המקרים ניתן להציב במקום הנעלם את המספר 0 לכן במרבית המקרים לא ניתן להכפיל בנעלם או בביטוי המכיל את הנעלם. כלומר, אסור להכפיל את המשוואה במספר שעלול להיות 0. אם, לעומת זאת הצלחנו לקבוע באופן כלשהו של בדיקה שהביטוי שבו אנו כופלים אינו 0 אנו יכולים להמשיך בדרך זו ואף לכפול בנעלם עצמו. לדוגמא: $${\frac {2}{x}}=1$$ במשוואה זו אנו רואים שהנעלם נמצא במכנה ואם הוא היה 0 הרי שלמשוואה לא היתה כל משמעות (חילוק ב-0 אינו מוגדר!). על-כן במקרה זה נוכל לאמר בוודאות כי $x\neq 0$ ולכן ניתן במקרה זה לכפול ב-$x$ $${\begin{matrix}{\dfrac {2}{x}}=1\quad /\cdot x(\neq 0)\\x=2\end{matrix}}$$

וזו התשובה. דוגמא נוספת לכפל במספר שאינו מכיל את הנעלם ניתן לראות בפרק הקודם.

חילוק במספר שאינו 0

ניתן לחלק את שני אגפי המשוואה בכל מספר שאינו 0. למעשה זאת פעולה שהיא במהותה זהה לחלוטין לפעולה של כפל משום שכפל במספר שאינו 0 שקול לכפל בהפכי של אותו המספר ולכן זו בדיוק אותה הפעולה. הבעיה מתחילה כאשר יתכן שהמספר שבו אנו מחלקים הוא 0. למשל במקרה של המשוואה הבאה:

$(x-2)(x+3)=0$

במקרה זה, אם נחלק את שני אגפי המשוואה למשל ב- $(x+3)$ נקבל $${\begin{matrix}(x-2)(x+3)=0\quad {\Big /}\cdot {\frac {1}{x+3}}\\x-2=0\end{matrix}}$$ אך בקלות ניתן לבדוק שאלו לא כל הפתרונות של המשוואה. אם נציב במשוואה המקורית $x=-3$ נקבל מיד פסוק שהוא ברור מאליו: $0=0$ כלומר, גם $x=-3$ הוא פתרון של המשוואה. במילים אחרות, בחלוקה במספר שיכול להיות 0 איבדנו את אחד הפתרונות. על-מנת להמנע ממקרה זה יש לחלק את המשוואה למקרים.

חלוקה למקרים נעשית כאשר יש צורך לחלק את אגפי המשוואה במספר שניתן בעזרת הצבה להפכו ל-0. לפני שניתן לעשות זאת, מניחים שאותו ביטוי שבו אנו מחלקים הוא אכן שווה ל-0 ופותרים משוואה חדשה שבה הוא שווה ל-0. לאחר מכן, מניחים שהוא אינו 0 וממשיכים לפתור את המשוואה באופן הרגיל. דוגמא: $$(1-x)(3-x)(x+2)=0$$ במקרה זה אנו עלולים להתפתות לחלק באחד הגורמים אך אסור לנו לחלק במספר שניתן להציב בו 0. נציג כעת את הדרך הנכונה ואת הסימון המקובל בפתרון משוואות מסוג זה.
פתרון: מהמשוואה מתקבלים 3 מקרים:

1. $1-x=0\ \Rightarrow \ x_{1}=1$
2. $3-x=0\ \Rightarrow \ x_{2}=3$
3. $x+2=0\ \Rightarrow \ x_{3}=-2$

תשובה: $x_{1}=1,x_{2}=3,x_{3}=-2$

נשים לב שכאן הפתרון הגיע בצורה של 3 ערכים שונים של $x$ אשר סומנו באינדקסים $1,\ldots ,3$ . כל אחד מהערכים מהווה פתרון של המשוואה המקורית אך רק שלושתם ביחד הן התשובה לשאלה: "אילו ערכים ניתן להציב ב-$x$ ולקבל פסוק אמת?" שזו השאלה הנשאלת כאשר אנו מתבקשים לפתור משוואה.

הפרק הקודם: משוואות פשוטות בנעלם אחד

הפעולות המותרות תרגילים

הפרק הבא: משוואות ריבועיות