מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות עם שורשים

משוואות עם שורשים

משוואות עם שורשים הנן משוואות אשר מכילות בתוכן שורשים. הן מיוחדות כי הן מופיעות במקרים רבים, וישנן טכניקות מוצלחות במיוחד לפתרונן. אם כי, יש לציין כי כמו בכל מקרה במתמטיקה, את רוב התרגילים לא קל כלל לפתור. אנו נציג מספר מקרים שבהם קל לפתור את המשוואות הללו ונציג את השיטות לפתרון.

העלאה בריבוע

שיטה זו היא השיטה הבסיסית ביותר בפתרון משוואות עם שורשים. השיטה מתבססת על כך שאנו מעלים את שני אגפי המשוואה בריבוע. יש לשים לב שזוהי אינה פעולה מותרת במובן שהגדרנו קודם. הסיבה לכך נעוצה בעובדה שלפעולת השורש יש שני פתרונות סימטריים. אחד שלילי ואחד חיובי. בגלל מוסכמה אנו תמיד בוחרים ששורש הוא מספר חיובי, אך אין סיבה מתמטית להעדיף דוקא מספרים חיוביים על מספרים שליליים. על-מנת להדגים את הבעיה, נתבונן במשוואה הבאה:

$x+3=2$

נעלה אותה בריבוע:

$x+3=2\quad {\Big /}{\uparrow }^{2}$

נקבל משוואה ריבועית!

$(x+3)^{2}=2^{2}$

$x^{2}+6x+9=4$

$x^{2}+6x+5=0$

מפתרון בשיטת הטרינום מקבלים מיד שהפתרונות הם $-1,5$ אבל מבדיקה של ההצבה מקבלים שרק הפתרון $-1$ הוא המתאים ואילו עבור $x=5$ אינו פתרון של המשוואה המקורית כלל! כלומר, קיבלנו לאחר העלאה בריבוע יותר פתרונות ממספר הפתרונות של המשוואה המקורית. בעיה זו יכולה להתעורר גם במקרה שבמשוואה מופיעים גם שורשים. למרות זאת, הפתרון הנכון לא נעלם. את הבעיה שנוצרה ניתן לפתור בכך שאנו בודקים את הפתרונות על-ידי הצבה במשוואה המקורית שנדרשנו לפתרונה.

על-מנת להשתמש בשיטה ההעלאה בריבוע המשוואה צריכה להראות כך שברגע שנעלה את שני האגפים בריבוע נאבד את השורשים. אין זה המצב ברוב המקרים, ולעתים קרובות נאלץ להביא את המשוואה למצב זה "בכוח", אם כי, בשלב זה נציג דוגמא שבה כבר הבאנו את המשוואה למצב הנוח ונפתור משם. המצב המדובר הוא מצב שבו באגף אחד ישנו ביטוי תחת שורש ובאגף השני לא.

$x={\sqrt {45-4x}}$

נעלה בריבוע:

$x={\sqrt {45-4x}}\quad {\Big /}{\uparrow }^{2}$

$x^{2}=45-4x$

$\Downarrow$

$x_{1}=-9,x_{2}=5$

כעת קיבלנו שני פתרונות. איננו יכולים לדעת אם אכן שני הפתרונות הם פתרונות של המשוואה המקורית, וגם איננו יודעים, מי מהם הוא פתרון של המשוואה המקורית (אם בכלל). על-מנת לבדוק זאת, נציב את הפתרונות במשוואה המקורית ונראה אם אנו מקבלים פסוק אמיתי:

$x={\sqrt {45-4x}}$

$-9={\sqrt {45-(-36)}}$

אבל זו סתירה, שכן, לא קיים מספר ממשי שהשורש שלו הוא מספר שלילי. לכן נותר לבדוק את הפתרון השני:

$x={\sqrt {45-4x}}$

$5={\sqrt {45-4\cdot 5}}\iff 5={\sqrt {25}}\iff 5=5$

וזהו פסוק אמת. כלומר, התשובה היא $x=5$ בלבד.

נעיר כאן, שבמידה ושני האגפים של המשוואה בהכרח חיוביים לכל הצבה של הנעלם, לא מתקבלים פתרונות נוספים וניתן (אם כי לא תמיד רצוי) לוותר על הבדיקה.

החלפת נעלם

במתמטיקה בכלל, וגם בנושא זה, אנו מבקשים להגיע למצב שאנחנו כבר יודעים לפתור שהוא שקול למצב המקורי. במקרה זה, אנו מחפשים צורה של משוואה שאנו כבר מכירים. למשל נתונה המשוואה (פשוטה יחסית):

$x-{\sqrt {x}}-12=0$

במבט ראשון, לא ברור כיצד לפתור את המשוואה הזו אך מרגע שאנו מודעים לכך שמשוואה זו דומה מאוד למשוואה ריבועית רגילה, שאותה כבר חקרנו בפרק משוואות ריבועיות הפתרון נעשה קל מאוד. על מנת לראות בדיוק על מה מדובר נבצע פעולה שהיא תמיד חוקית והיא שינוי סימון. אנו נסמן את ${\sqrt {x}}$ ב- $t$ כלומר:

${\sqrt {x}}=t$

כעת נציב את הסימון החדש במשוואה המקורית ונקבל ש:

$t^{2}-t-12=0$

זו משוואה ריבועית פשוטה שהפתרון שלה הוא $t_{1}=-3,t_{2}=4$ אך זהו עדיין אינו הפתרון, כי השאלה היתה לגבי $x$ ולא לגבי $t$ אז נותר לנו לעבור חזרה לנעלם המקורי:

${\sqrt {x}}=t$

ולכן אנו יודעים ש-

${\sqrt {x_{1}}}=t_{1}$

${\sqrt {x_{1}}}=-3$

אבל זה לא יכול להיות, כי אין מספר ממשי שהשורש שלו הוא שלילי! לכן, הפתרון למשוואה זו נפסל כי לא ניתן להציב אותו בסימון החדש.

${\sqrt {x_{2}}}=t_{2}$

${\sqrt {x_{2}}}=4$

$x=16$

וזה למעשה פותר את המשוואה (בדוק!).

כפל בצמוד

ישנה דרך אחרת אשר מתבססת על כפל בצמוד. פעולת הכפל בצמוד הוזכרה בפרק דוגמאות ושימושים נוספים של טכניקות אלגבריות פשוטות. נדגים את השימוש בשיטה זו על מנת לפתור את אותה משוואה שראינו קודם:

$x-{\sqrt {x}}-12=0$

$(x-12)-{\sqrt {x}}=0\quad {\Big /}\cdot {\Big [}(x-12)+{\sqrt {x}}{\Big ]}$

${\Big [}(x-12)-{\sqrt {x}}{\Big ]}\cdot {\Big [}(x-12)+{\sqrt {x}}{\Big ]}=0$

$(x-12)^{2}-{\Big (}{\sqrt {x}}{\Big )}^{2}=0$

המעבר האחרון הוא מעבר המתבסס על נוסחאות הכפל המקוצר ובמקרה זה הוא מבטל את קיום השורש במשוואה ומקבלים:

$x^{2}-25x+144=0$

$x_{1,2}={\frac {25\pm {\sqrt {25^{2}-4\cdot 144}}}{2}}={\frac {25\pm 7}{2}}$

והתוצאה המתקבלת היא אותה התוצאה שהתקבלה בשיטה הקודמת.

הפרק הקודם: משוואות עם שברים

משוואות עם שורשים תרגילים

הפרק הבא: משוואות כלליות בנעלם אחד