מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/סדרות/סדרות חשבוניות

הגדרה

סדרה חשבונית היא רצף של מספרים ( $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}...$ ) שלהם הפרש ( $d$ ) קבוע. למשל:

$1,2,3,\dots$ היא סדרה חשבונית שאיברה הראשון ( $a_{1}$ ) הוא $1$ וההפרש בה הוא גם $1$ .
$4,4,4,\dots$ היא סדרה חשבונית שאיברה הראשון ( $a_{1}$ ) הוא $4$ וההפרש בה הוא 0.
$2,5,8,\dots$ היא סדרה חשבונית שאיברה הראשון ( $a_{1}$ ) הוא $2$ וההפרש בה הוא 3.

סדרה עולה ויורדת

סדרה עולה - סדרה לה הפרש חיובי.
סדרה יורדת - סדרה לה הפרש שלילי.

אברי הסדרה

בשל הגדרת הסדרה החשבונית נוכל לבטא את רצף האיברים גם כך: $a_{3}=a_{1}+2d$ , $a_{4}=a_{1}+3d$ , $a_{2}=a_{1}+d$ וכן הלאה.

כל אברי הסדרה, פרט לראשון שווים לממוצע של שני האברים הסמוכים לו, למשל אם נחשב את האיבר השני בדומה הראשונה לעיל נבצע ${\frac {a_{1}+a_{3}}{2}}$ ונקבל ${\frac {1+3}{2}}={\frac {4}{2}}=2$

האיבר הכללי

"האיבר הכללי" הוא למעשה תבנית שבאמצעותה ניתן לגלות את מספרי הסדרה על ידי הצבה מיקום המספר ( $n$ ) המבוקש בסדרה (דהיינו אם הוא $a_{1}$ נציב $n=1$ וכן הלאה).

נוסחת האיבר הכללי: $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$ (הוכחה)

לפי הנוסחא אם ידועים לנו $d$ ו- $a_{1}$ של סדרה נוכל למצוא את איבר הכללי

דוגמה 1: מציאת האיבר על פי מיקומו בעזרת הנוסחה הכללית

נתונה סדרה חשבונית ש- $a_{1}=5$ והפרשה $7$ . מצא את $a_{1}5$

נוסחת האיבר הכללי: $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

נציב את $a_{1}=5$ ו- $d=7$ נקבל $a_{n}=5+(n-1)7$

לאחר שמצאנו את הנוסחה הכללית לסדרה נציב $n=5$ בכדי למצוא את האיבר במקום ה- $5$ ונקבל $a_{5}=5+(5-1)7=5+28=33$

דוגמה 2: מציאת הנוסחה הכללית באמצעות הנתונים

נתונה הסדרה חשבונית $2,4,6,8...$ . מצא את מיקום האיבר ה- $a_{n}=64$

נתון כי $a_{1}=2$ וכמו גם $d=a_{2}-a_{1}=4-2=2$ ניצב בנוסחת האיבר הכללי: $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

נקבל $a_{n}=2+(n-1)2$ עתה נציב $a_{n}=64$ בנוסחה $2+(n-1)2=64$

נפתח $2+2n-2=64$ ונצמצם $2n=64$

פתרון מיקום האיבר הוא $n=32$

דוגמה 3: מציאת נוסחת האיבר הכללי באמצעות סכום

באיבר חשבונית סכום האיברים החמישי והשישי הוא 20 וסכום האיבר האיבר השמיני והתשיעי הוא 32. מצא את נוסחת האיבר הכללי

$a_{5}+a_{6}=20$ וכן גם $a_{8}+a_{9}=32$

נביע את האיברים באמצעות $a_{1}$ :

$a_{5}=a_{1}+4d$
$a_{6}=a_{1}+5d$
$a_{8}=a_{1}+7d$
$a_{9}=a_{1}+8d$

על כן ${\begin{cases}a_{1}+4d+a_{1}+5d=20\\a_{1}+7d+a_{1}+8d=32\\\end{cases}}$

נקבל ${\begin{cases}2a_{1}+9d=20\\2a_{1}+15d=32\\----\\-6d=-12\\d=2\end{cases}}$

כמו גם נמצא כי- $a_{1}=1$ . עתה נציב בנוסחה הכללית ונקבל $a_{n}=1+(n-1)2$

דוגמה 5: מציאת סדרה חשבונית

מצא לאלו ערכי $x$ מהווה הסדרה $x^{2},2x,4$ סדרה חשבונית.

שתי דרכים לפתרון התרגיל באמצעות:

ממוצע של אברים כפי שהוסבר בראשית האיבר האמצעי שווה לממוצע של האיבר לפניו ואחריו.
מציאת הפרש של אברים.

נפתור באמצעות הדרך השנייה כלומר $2x-x^{2}=d$ וכן גם $4-2x=d$

נשווה את המשוואות ונקבל $4-2x=2x-x^{2}$

נצמצם $x^{2}-4x+4=0$

$(x-2)^{2}=0$ כלומר קבלנו פתרון יחיד לסדרה והוא $x=2$

נציב את הפתרון ונקבל את הסדרה: $4,4,4...$

נוסחת הנסיגה

נוסחת נסיגה היא נוסחה שמגדירה סדרת איברים באופן רקורסיבי, לדוגמה בסדרה חשבונית $\ F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}$ .

דוגמה 4: מציאת נוסחת הנסיגה

נתונה הנוסחה הכללית לסדרה $an=2n+2$ וכן גם $d=2$ . הוכח את הסדרה בעזרת נוסחת הנסיגה.

$a_{n+1}=a_{n}+2$

דוגמה 5: הוכחת סדרה כחשבונית

האיבר הכללי של סדרה הוא $a_{n}=2n+2$ הוכח כי הסדרה חשבונית.

בכדי להוכיח כי סדרה היא חשבונית עלינו להוכיח כי ההפרש בין איברי הוא קבוע דהינו $a_{n}-a_{n-1}=d$

נמצא את $a_{n-1}=2(n-1)+2=2n$

עתה נבדוק האם ההפרש בין הנוסחה הכללית לאיבר הקודם היא קבוע: $a_{n}-a_{n-1}=2n+2-2n=2$

מספרים טבעים

תרגיל

מצא כמה מספרים טבעיים תלת ספרתיים אינם מתחלקים ב-11 ללא שארית

נושא

סדרות - מספר טבעי

פתרונות

ההפרש בין האיברים הוא 11

המספר התלת ספרתי הראשון שמתחלק ב-11 ללא שארית הוא $a_{1}=110$ .

המספר התלת ספרתי האחרון שמתחלק ב-11 ללא שארית הוא $an=990$ .

נשתמש בנוסחה: $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

${\begin{aligned}990=110+(n-1)11\\880=11n-11\\891=11n\\n=81\end{aligned}}$

נמצא את כמות המספרים התלת ספרתיים בין 100-999 ונקבל $a_{1}=100,a_{n}=990$ .

נציב בנוסחה הכללית ונקבל $999=100+(n-1)1$ כלומר $n=900$

מאחר שישנם 900 מספרים תלת ספרתיים ויש 81 מספרים תלת ספרתיים המתחלקים ב-11 ללא שארית נקבל כי קיימים $900-81=819$ לא מתחלקים ב-11

מציאת אברים סמוכים

תרגיל

בתרגילים הבאים מופיעים שלושה איברים סמוכים של סדרה חשבונית. מצא את x ואת האיברים $2x+3,4x+x^{2},4x^{2}-x$

נושא

סדרה - איברים סמוכים

פתרונות

סכום האיבר הנמצא בין שני אברים סמוכים הינו

a_{n+1}={\frac {a_{n}+a_{n+2}}{2}}

על כן נייצר משוואה :

$4x+x^{2}={\frac {2x+3+4x^{2}-x}{2}}$

$8x+2x^{2}=2x+3+4x^{2}-x$

$0=2x^{2}-7x+3$

${\frac {7\pm {\sqrt {49-4*3*2}}}{2*2}}$

${\frac {7\pm 5}{2*2}}$

$x_{1},2={\frac {7\pm 5}{2*2}}$

$x_{1}=3,\ \ x_{2}={\frac {1}{2}}$

נציב ב- $2x+3,4x+x^{2},4x^{2}-x$ את הנעלמים ונקבל:

$9,21,33$ או $4,2{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}$

מציאת אברים חיובים או שלילים

תרגיל

נתונה הסדרה החשבונית $163,160,157...-83$

כמה איברים חיוביים ישנם בסדרה?
מצא את האיבר החיובי הקטן ביותר בסדרה.
כמה איברים שליליים ישנם בסדרה?
מצא את האיבר השלילי הגדול ביותר בסדרה.

נושא

סדרות

פתרונות

$a_{1}=163$

$d=160-163=-3$

עתה ברצוננו לגלות את מיקום האיבר הקטן ביותר הקרוב לאפס. בכדי לעשות זאת נניח כי ערכו של אותו איבר שווה $a_{n}=0$

נציב בנוסחה הכללית : $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

$0=163+(n-1)-3$

$0=163-3n+3$

$3n=166$

$n=55{\frac {1}{3}}$

דהינו מיקום האיבר הקטן ביותר הוא 55 (מיקום חייב להיות מספר טבעי). כלומר קיימים 55 איברים חיובים בסדרה.

סעיף ב': עתה נמצא את ערכו המדויק:

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

$a_{5}5=163+(55-1)-3=163-162=1$

סעיף ג': עתה נתבונן בחלק $1...-86$

נחשב את מספר האיברים הקיימים בניהם על מנת למצוא כמה איברים שלילים בסדרה ולכן נתייחס אל האיבר החיובי הקטן ביותר כ- $a_{1}=1$

האיבר האחרון הוא $-86$ על כן

$-86=1+(n-1)-3$

$-86=1-3n+3$

$-90=-3n$

$n=30$

אבל $1$ אינו שלילי ולכן נוריד אותו בספרה ולכן מספר האיברים השלילים הוא 29.

סעיף ד: האיבר השלילי הגדול ביותר בסדרה הוא האיבר אחרי $1$ לכן נוסיף לו $d$ ונקבל $1-3=-2$

בעיה מחיי היום יום

טוען את הטאבים...

תרגיל

במפעל למאווררים מכרו בכל שבוע מספר קבוע של מאוורים יותר מאשר בשבוע הקודם לו. בשלושת השבועות הראשונים מכרו 360 מאווררים. בשבוע החמישי מכרו 180 מאווררים.

כמה מאוורים מכרו בשבוע העשירי?
באיזה שבוע מכרו 400 מאווררים?

נושא

סדרות

פתרונות

כל שבוע הוא איבר בסדרה. ${\begin{aligned}a_{1}+a_{2}+a_{3}=360\\a_{5}=180\end{aligned}}$

נבטא את האיברים באמצעות האיבר הראשון ${\begin{aligned}a_{1}+a_{1}+d+a_{1}+2d=360\\a_{1}+4d=180\\----\\a_{1}+d=120\\a_{1}+4d=180\\----d=20\\a_{1}=120-20=100\\\end{aligned}}$