מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/קבוצות ותחומים/הכלה ושוויון

הכלה

כשם שישנו סימון מתמטי שמתאר יחס בין איבר לקבוצה (כלומר יחס השייכות) ישנם סימני יחס נוספים שמסמנים קשר בין קבוצות שלמות. הסימן הבסיסי ביותר לתיאור יחס בין קבוצות הוא סימן ההכלה שמסומן בסימון: $\;\subseteq$. נניח למשל שישנן שתי קבוצות $\;A$ ו־$\;B$. נניח גם שכל האברים של $\;A$ גם נמצאים ב-$\;B$ כלומר לכל איבר $\;x$ שמקיים $\;x\in A$ גם מתקיים $\;x\in B$. במקרה זה נאמר ש-$\;A$ מוכלת ב-$\;B$ ונסמן זאת בסימון:

$A\subseteq {B}$

הבה נתבונן בדוגמא של הכלה. למשל, נניח שהקבוצה $\;A$ היא קבוצת כל החמוסים. כמו-כן, נניח ש-$\;B$ היא קבוצת כל היונקים. מכיוון שכל חמוס הוא גם יונק, ברור ש

$A\subseteq {B}$

כמו-כן, גם ברור מיד שההיפך אינו נכון, שכן בני אדם הם יונקים, אבל הם אינם חמוסים. כלומר, ישנו יונק שאינו חמוס. זאת אומרת ש-

$\;B\not \subseteq {A}$

כדאי לדעת: שימו לב! יחס ההכלה איננו סימטרי! יש לשים לב לכיוון ההכלה. ישנו דמיון בין סימן ההכלה לסימן יחס הסדר (גדול - < או קטן >). הצד הפתוח מצביע לכיוון הקבוצה ה"גדולה" יותר ואילו הצד הסגור לכיוון הקבוצה ה"קטנה" יותר. בדומה לסימן יחס הסדר.

אם קבוצה מוכלת בקבוצה אחרת אז היא נקראת גם תת-קבוצה של הקבוצה ה"גדולה" יותר. בדוגמא שלנו, קבוצת החמוסים היא תת-קבוצה של קבוצת היונקים, אבל לא תת-קבוצה של קבוצת בני האדם. בני-האדם לעומת זאת הם כן תת-קבוצה של קבוצת היונקים.

הכלה ממש והכלה חלשה

נדבר על ההבדל בין הכלה ממש להכלה חלשה. נדמיין מצב שבו ישנן שתי קבוצות, למשל $\;A$ ו $\;B$. נניח גם שכל האברים של $\;A$ שייכים גם ל-$\;B$. במצב זה, כפי שכבר ראינו

$A\subseteq {B}$

אבל, כאן יתכן ששתי הקבוצות מכילות בדיוק את אותם האברים. לכן סימן זה נקרא הכלה חלשה. הכלה חזקה או בשמה השני הכלה ממש זה מצב שבו בקבוצה $\;B$ ישנו לפחות אבר אחד שאינו שייך ל-$\;A$. מצב זה יסומן כך:

$\;A\subset {B}$

שוב רואים כאן דמיון לסימון יחס הסדר (גדול-קטן) $\;<$.

שוויון

המצב שוויון בין קבוצות הוא מצב שקל מאוד לדמיין. אם שתי שתי קבוצות מוכלות אחת בתוך השניה (הכלה חלשה לשני הכיוונים) אז הקבוצות תקראנה שוות. כלומר $\;A\subseteq {B}$ וגם $\;B\subseteq {A}$ שניהם מתקיימים ביחד.
הבה נתבונן על התכונות הבסיסיות של סימן השוויון. השוויון חייב להיות סימטרי. כלומר לומר ש-$\;A=B$ זה אותו דבר כמו להגיד ש-$\;B=A$. זה נכון בגלל שאם $\;A\subseteq {B}$ וגם $\;B\subseteq {A}$ אז גם מתקיים ש-$\;B\subseteq {A}$ וגם $\;A\subseteq {B}$. גם צריך להתקיים שלכל קבוצה $\;A=A$. זה נכון כי $\;A\subseteq {A}$ וזה כמובן נכון לשני הכיוונים.
ישנה עוד תכונה חשובה של שוויון והיא שאם ישנן שלוש קבוצות $\;B$, $\;A$ ו $\;C$ וגם $\;A=B$ ו $\;B=C$ אז $\;A=C$ (בדוק!).

סימון בדיאגרמות

דיאגרמת אוילר

ישנה דרך פשוטה לסמן יחסים בין קבוצות בצורה של ציור או דיאגרמה. לעיתים נקראות דיאגרמות אלו דיאגרמות וֶן, אך למעשה דיאגרמות אלו מיוחסות לכמה מתמטיקאים שונים. למשל, אם ישנה קבוצה $\;A$ אשר מוכלת בקבוצה $\;B$ וקבוצה נוספת $\;C$ אשר אין לה בכלל אברים משותפית עם השתיים האחרות, נצייר זאת כעיגול גדול שבתוכו עיגול קטן, כאשר עיגול נוסף מחוץ לשניהם ללא נקודת מגע (ראה דיאגרמת אוילר). נציג נושא זה שוב בפרק הבא.

הכלה ושוויון של קבוצות מיוחדות

לפי ההגדרה שלהן, נוכל לאמר מספר דברים ברורים לגבי הקבוצות המיוחדות, למשל, קבוצת המספרים הטבעיים-$\mathbb {N}$ מוכלת בקבוצת המספרים הממשיים-$\mathbb {R}$ וקבוצת המספרים השלמים-$\mathbb {Z}$. כלומר, $\mathbb {N} \subset {\mathbb {Z} }$ וגם $\mathbb {N} \subset {\mathbb {R} }$. חשוב לציין שאם מתקיימת הכלה חזקה, אז בפרט מתקיימת גם החלה חלשה. לכן גם מתקיים ש-$\mathbb {N} \subseteq {\mathbb {Z} }$ וגם $\mathbb {N} \subseteq {\mathbb {R} }$. ברור גם ש-$\mathbb {N} \subset {\mathbb {R} }$ וגם $\mathbb {N} \subset {\mathbb {Z} }$.

הפרק הקודם: מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות

הכלה ושוויון תרגילים

הפרק הבא: איחוד וחיתוך