מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/ישרים מקבילים

ישר מקביל

שני ישרים מקבלים שלעולם לא יפגשו. מרחקם זה מזה קבוע.

הגדרה: ישרים מקבילים הם ישרים שלא נפגשים.

אקסיומת המקבילים: דרך נקודה מחוץ לישר ניתן להעביר מקביל אחד ויחיד לישר.

זוויות בין שני מקבלים וקו שלישי חותך

אם נעביר קו החותך שני מקבילים, הוא יצור 8 זוויות שיש בהן עקביות מסויימת. לשם הבנת העקביות הזו, יש צורך בהבנת מספר מושגים בסיסיים:

• 
  שני ישרים מקבילים וישר שלישי חותך.
• 
  זוויות מתאימות - הן זוג זוויות הנמצאות באותו צד של הישר החותך ובאותה רמה ביחס למקביל אליו הן צמודות (שתיהן מעל למקביל אליו הן צמודות או שתיהן מתחת למקביל אליו הן צמודות). הן שוות זו לזו.
• 
  זוויות חד צדדיות - הן זוג זוויות הנמצאות באותו צד של הישר החותך, אך ברמה שונה ביחס למקביל אליו הן צמודות (אחת מעל למקביל אליו היא צמודה ואחת מתחת למקביל אליו היא צמודה). הן משלימות לזווית של $180^{\circ }$.לדוגמה: באיור זוויות $\beta$ ו-$\theta$ הן חד צדדיות.
• 
  זוויות מתחלפות - הן זוג זוויות שאינן נמצאות באותו צד של הישר החותך ואינן נמצאות באותה רמה ביחס למקביל אליו הן צמודות. הן שוות זו לזו.

משפטים

הגדרה: מקבילים הינם שני ישרים שהמרחק ביניהם שווה לכל אורכם, וכי אנך לאחד תמיד אנך גם לשני וכל האנכים מסוג זה שווים זה לזה. לכן שני קווים מקבילים לעולם לא "נפגשים", כלומר אין ביניהם ולו נקודת חיתוך אחת.

• שני קווים שלא חולקים אף נקודת חיתוך הם תמיד מקבילים.
• שני ישרים מקבילים הם בעלי אותו שיפוע.
• עבור שני ישרים נחתכים, סכום כל שתי זוויות סמוכות הוא 180º
• שני ישרים מקבילים, הנחתכים בידי ישר שלישי, יוצרים זוויות מתחלפות, כלומר הזווית בין הישר לאחד המקבילים, הנוצרת בתחום הין המקבילים שווה לזווית בין אותו ישר למקביל השני מעברו השני של אותו ישר, בתחום בין המקבילים. ישר זה נקרא "חותך מקבילים".
  • הפוך:כל זוג זוויות מתחלפות בישרים מקבילים שוות.
• זוויות מתאימות
  • הפוך:כל זוג זוויות מתאימות בישרים מקבילים שוות.
• זוויות צמודות ב"חותך מקבילים", כלומר הנמצאות על אותו צד שלו או הנמצאות על אותו מקביל סכומן 180.
• זווית הנוצרת בין "חותך מקבילים" למקביל א' מחוץ לתחום בין המקבילים שווה לזוויות בין אותו מקביל ל"חותך מקבילים" בתוך התחום בין המקבילים אשר בצד מנוגד לה. הן שתיהן שוות לזווית בתחום בין המקבילים הנוצרת בין ה"חותך מקבילים" למקביל השני באותו צד כמו הזוויות מחוץ לתחום, ושלושתן שוות לזוויות הנוצרת בין "חותך המקבילים" לבין המקביל השני מחוץ לתחום באותו צד כמו הזווית בין ה"חותך מקבילים" למקביל הראשון בתוך התחום.
• דרך נקודה הנמצאת מחוץ לישר נתון ניתן להעביר ישר אחד ויחיד המקביל לישר הנתון.
• זוויות קודקודיות תמיד שוות.
• ישר שאינו מקבילית: אם שני ישרים ייחתכו על ידי ישר שלישי, באופן שסכום הזוויות הפנימיות שייווצרו באחד הצדדים קטן מסכום שתי זוויות ישרות (180 מעלות), אזי אם יוארכו הישרים מספיק באותו צד הם ייפגשו. (אקסיומת המקבילים - היסוד החמישי של אויקלידס)

גדלי ישרים

• שני גדלים השווים לגודל שלישי שווים ביניהם.
• אם מחברים גדלים שווים לגדלים שווים הסכומים שווים.
• אם מחסרים גדלים שווים מגדלים שווים מגדלים שווים אז ההפרשים שווים.
• אם מחלקים גדלים שווים בגדלים שווים המנות שוות.
• אם כופלים גדלים שווים בגדלים שווים המכפלות שוות.
• בין שני ישרים מקבילים וישר שלישי שחותך אותם מתקבלים :
  • סכום כל זוג זוויות חד צדדיות בישרים מקבילים הוא 180 מעלות.
• משפט הפוך - אם בין שני ישרים מקבלים (a,b) וישר שלישי חותך אותם, מתקיים אחד מזוגות הזוויות המצויינות (מתחלפות, מתאימות או חד צדדיות) אז שני הישרים מקבלים (a,b).
• שני ישרים המקבלים לאותו ישר, יהיו מקבילים זה לזה.