מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/משפטים בגאומטריה/ישרים

ישרים נחתכיםעריכה

ישרים מקביליםעריכה

הגדרה: מקבילים הינם שני ישרים שהמרחק ביניהם שווה לכל אורכם, וכי אנך לאחד תמיד אנך גם לשני וכל האנכים מסוג זה שווים זה לזה. לכן שני קווים מקבילים לעולם לא "נפגשים", כלומר אין ביניהם ולו נקודת חיתוך אחת.

  • שני קווים שלא חולקים אף נקודת חיתוך הם תמיד מקבילים.
  • שני ישרים מקבילים הם בעלי אותו שיפוע.
  • עבור שני ישרים נחתכים, סכום כל שתי זוויות סמוכות הוא 180º
  • שני ישרים מקבילים, הנחתכים בידי ישר שלישי, יוצרים זוויות מתחלפות, כלומר הזווית בין הישר לאחד המקבילים, הנוצרת בתחום הין המקבילים שווה לזווית בין אותו ישר למקביל השני מעברו השני של אותו ישר, בתחום בין המקבילים. ישר זה נקרא "חותך מקבילים".
    • הפוך:כל זוג זוויות מתחלפות בישרים מקבילים שוות.
  • זוויות מתאימות
    • הפוך:כל זוג זוויות מתאימות בישרים מקבילים שוות.
  • זוויות צמודות ב"חותך מקבילים", כלומר הנמצאות על אותו צד שלו או הנמצאות על אותו מקביל סכומן 180.
  • זווית הנוצרת בין "חותך מקבילים" למקביל א' מחוץ לתחום בין המקבילים שווה לזוויות בין אותו מקביל ל"חותך מקבילים" בתוך התחום בין המקבילים אשר בצד מנוגד לה. הן שתיהן שוות לזווית בתחום בין המקבילים הנוצרת בין ה"חותך מקבילים" למקביל השני באותו צד כמו הזוויות מחוץ לתחום, ושלושתן שוות לזוויות הנוצרת בין "חותך המקבילים" לבין המקביל השני מחוץ לתחום באותו צד כמו הזווית בין ה"חותך מקבילים" למקביל הראשון בתוך התחום.
  • דרך נקודה הנמצאת מחוץ לישר נתון ניתן להעביר ישר אחד ויחיד המקביל לישר הנתון.
  • זוויות קודקודיות תמיד שוות.
  • ישר שאינו מקבילית: אם שני ישרים ייחתכו על ידי ישר שלישי, באופן שסכום הזוויות הפנימיות שייווצרו באחד הצדדים קטן מסכום שתי זוויות ישרות (180 מעלות), אזי אם יוארכו הישרים מספיק באותו צד הם ייפגשו. (אקסיומת המקבילים - היסוד החמישי של אויקלידס)

גדלי ישרים

  • שני גדלים השווים לגודל שלישי שווים ביניהם.
  • אם מחברים גדלים שווים לגדלים שווים הסכומים שווים.
  • אם מחסרים גדלים שווים מגדלים שווים מגדלים שווים אז ההפרשים שווים.
  • אם מחלקים גדלים שווים בגדלים שווים המנות שוות.
  • אם כופלים גדלים שווים בגדלים שווים המכפלות שוות.
  • בין שני ישרים מקבילים וישר שלישי שחותך אותם מתקבלים :
    • סכום כל זוג זוויות חד צדדיות בישרים מקבילים הוא 180 מעלות.
  • משפט הפוך - אם בין שני ישרים מקבלים (a,b) וישר שלישי חותך אותם, מתקיים אחד מזוגות הזוויות המצויינות (מתחלפות, מתאימות או חד צדדיות) אז שני הישרים מקבלים (a,b).
  • שני ישרים המקבלים לאותו ישר, יהיו מקבילים זה לזה.

אנכיםעריכה

ישרעריכה

  • דרך נקודה הנמצאת מחוץ לישר נתון ניתן להעביר ישר אחד ויחיד המקביל לישר הנתון.
  • אם שתי נקודות נמצאות על ישר ונקודה אחת נמצאת מחוץ לישר, אזי שום קו ישר אחד לא יכול לחבר את כל שלושת הנקודות.
  • דרך שתי נקודות יכול לעבור רק קו ישר אחד.
  • שני ישרים יכולים להיחתך אך ורק בנקודה אחת.
  • שוקייה של זווית בת 180 מעלות מצויות על אותו ישר.