מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/משפטים בגאומטריה/ישרים/משפט תאלס

היחס בין שוקי הזווית עריכה

 
שני הישרים מאותו צד של הקדקוד
 
הקדקוד כלוא בין הישרים

ניעזר בסימונים שבציור בצד.

נתון   , צריך להוכיח  

נעביר את   ואת   .

נסתכל על המשולש   ועל המשולש   .

בשני משולשים אלו,   צלע, והגובה מ-   ל-   שווה לגובה מ-  ל-   . (כי  )

לכן, שטחי משולשים אלו שווים, כלומר  

אם הישרים מאותו צד של הקדקוד (הציור העליון), נוסיף לשני הצדדים את שטח המשולש   .

אם הקדקוד כלוא בין הישרים (הציור התחתון), נוריד משני האגפים את שטח המשולש   .

נקבל  

נחלק את שני האגפים בשטח המשולש   , ונקבל  

נוריד גובה   מ-   ל-   , וגובה   מ-   ל-   .

מכיון ששטח משולש שווה למחצית מכפלת צלע בגובה לה, נקבל:  

לאחר צמצום, נקבל:  

היחס בין הישרים החותכים את הזווית עריכה

נסמן נקודה M על BC כך ש- 

מכיון ש-   ו- , DECM [[/../../מקבילית|מקבילית]]

לכן, DE=CM

אם נסתכל על B כקדקוד, נקבל, ע"פ היחס בין שוקי הזווית (שהוכח לעיל):  

אם נציב DE=CM, נקבל:  

ע"פ כלל המעבר, נקבל: