מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/משפטים בגאומטריה/משולשים/אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי צלעות והזווית שכלואה ביניהן המשולשים חופפים

נתון:

1. משולש $ABC$ ומשולש $DEF$
2. כל תנאי החפיפה, פרט $AB=DE$, כלומר נניח $AB\neq DE$
3. $\angle ABC=\angle DEF,\angle BCA=\angle EFD$
4. $BC=EF$.

אין תמונה חופשית

אופן ההנחה: הפרכה - לא אפשרי $AB\neq DE$ במשולשים שאינם חופפים ועונים על כל הנתונים של משפט חפיפה

צריך להוכיח: $AB=DE,AC=DF$.

הוכחה:

• נניח $AB\neq DE$. מכאן שאחת מהצלעות גדולה מהשניה, WLOG, $\ AB>DE$.
• נבנה קו עזר, נקודה G על ישר AB, באופן כזה $BG=ED$. כמו גם נעביר קו עזר מנקודה G לנקודה C.
• מכאן:
  • $BG=ED$
  • $\angle GBC=\angle DEF$
  • $BC=EF$ נתון
  • $\angle GCB=\angle DFE$
• מצד שני לא אפשרי $\angle GCB=\angle DFE$ כיוון $\angle DFE=\angle ACB>\angle GCB$ (החלק קטן מהשלם)
• מכאן $\ AB=DE$
• מכאן $\triangle ABC=\triangle DEF$