מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/משפטים בגאומטריה/משולשים

תכונות המשותפות לכל המשולשים: זוויות וצלעות

• סכום זויות במשולש הוא 180 מעלות.
• זוית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזויות הפנימיות שאינן צמודות לה
• מול הזווית הגדולה במשולש, מונחת הצלע הגדולה במשולש ולהיפך
• סכום שתי צלעות במשולש גדול מצלע שלישית.

• הפוך: הפרש אורכי שתי צלעות במשולש קטן מאורך הצלע השלישית.

• במשולש (שאינו שווה צלעות), אם צלע גדולה מצלע שנייה אז הזווית שמול הצלע הגדולה, גדולה יותר מהזווית שמול הצלע הקטנה
• תיכון במשולש מחלק אותו לשני משולשים שווי שטח (לא לציטוט בבגרות)
• [[/קטע במשולש היורד מקודקוד אל הצלע שמולו ומחלק אותה ביחס של a:b מחלק גם את המשולש לשני משולשים שהיחס בין שטחם הוא a:b/]] (לא לציטוט בבגרות)
• [[/קטע במשולש היורד מקודקוד אל הצלע שמולו ומחלק את המשולש לשני משולשים בעלי שטחים שווים הוא תיכון במשולש/]] (לא לציטוט בבגרות)
• [[/אם במשולש תיכון עובר דרך מקביל המקביל לצלע אותה חוצה התיכון, אז התיכון בהכרח חוצה גם את המקביל לצלע/]](לא לציטוט בבגרות)
• חוצה זווית (פנימית או חיצונית) במשולש, מחלק את הצלע בה הוא פוגע (או המשכה) ביחס שווה ליחס בין שוקי הזווית
  • הפוך:אם ישר יוצא מקודקוד של משולש לעבר הצלע ממול ומחלק אותה ביחס שווה ליחס בין הצלעות, אז אותו ישר הוא חוצה זווית.

משולשים שווי שוקיים

• אם משולש שווה שוקים אז זוויות הבסיס שוות
• מול צלעות שוות במשולש זוויות שוות
  • הפוך: מול זוויות שוות במשולש צלעות שוות.
• הגדרה: במשולש שווה שוקיים, חוצה זווית הראש, התיכון לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים.
  • אם במשולש חוצה זווית הראש מתלכד עם הגובה ותיכון המשולש הוא שווה שוקיים.
  • אם במשולש חוצה זווית הראש הוא גם גובה לבסיס אזי המשולש הוא שווה שוקיים (הוכחה זהה לאם במשולש חוצה זווית הראש מתלכד עם הגובה ותיכון המשולש הוא שווה שוקיים)
  • אם במשולש חוצה זווית הוא תיכון, אז המשולש הוא שווה שוקיים.
  • אם במשולש גובה הוא תיכון, אז המשולש הוא שווה שוקיים.
• במשולש שווה שוקיים מרכז הבסיס נמצא במרחקים שווים מהשוקיים.
  • הפוך: אם מרחקי גבהי הבסיס שווים מהשוקיים, אזי צלעות המשולש המאונכות לגבהים שוות.
• אם במשולש קיימים שני חוצי זוויות שווים אזי המשולש שווה שוקיים
• אם במשולש שני גבהים שווים זה לזה, אזי צלעות המשולש המאונכות לגבהים שוות

משולש שווה צלעות

הגדרה: משולש שווה צלעות הוא משולש שכל שלוש צלעותיו שוות באורכן ולכן כל הזוויות שוות ל-60 מעלות.

• משולש ששתיים מזוויותיו שוות 60 מעלות הוא משולש שווה צלעות.
• משולש ששתיים מצלעותיו שוות וזווית אחת שלו שווה 60 מעלות הוא משולש שווה צלעות.
• משולש שווה צלעות הוא גם משולש שווה שוקיים ולכן כל חוקיו של משולש שווה שוקיים חלים גם על משולש שווה צלעות, כאשר כל אחת מצלעות המשולש יכולה לשמש כבסיס.

• אם משולש שווה שוקים אז זוויות הבסיס שוות
• מול צלעות שוות במשולש זוויות שוות
  • הפוך: מול זוויות שוות במשולש צלעות שוות.
• הגדרה: במשולש שווה שוקיים, חוצה זווית הראש, התיכון לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים.
  • אם במשולש חוצה זווית הראש מתלכד עם הגובה ותיכון המשולש הוא שווה שוקיים.
  • אם במשולש חוצה זווית הראש הוא גם גובה לבסיס אזי המשולש הוא שווה שוקיים (הוכחה זהה לאם במשולש חוצה זווית הראש מתלכד עם הגובה ותיכון המשולש הוא שווה שוקיים)
  • אם במשולש חוצה זווית הוא תיכון, אז המשולש הוא שווה שוקיים.
  • אם במשולש גובה הוא תיכון, אז המשולש הוא שווה שוקיים.
• במשולש שווה שוקיים מרכז הבסיס נמצא במרחקים שווים מהשוקיים.
  • הפוך: אם מרחקי גבהי הבסיס שווים מהשוקיים, אזי צלעות המשולש המאונכות לגבהים שוות.
• אם במשולש קיימים שני חוצי זוויות שווים אזי המשולש שווה שוקיים
• אם במשולש שני גבהים שווים זה לזה, אזי צלעות המשולש המאונכות לגבהים שוות

משולש ישר זווית

הגדרה: משולש ישר זווית הוא משולש שאחת מזוויותיו שווה ל90 מעלות. הצלע מול הזווית בעלת 90 מעלות (הזווית הישרה) נקראת יתר, ושתי הצלעות האחרות נקראות ניצבים.

• היחס בין הניצב מול זווית מסויימת לבין הניצב השני הוא קבוע לאותה זווית ונקרא "טנגנס הזווית".
• היחס בין הניצב מול זווית מסויימת לבין היתר הוא קבוע לאותה זווית ונקרא "סינוס הזווית".
• היחס בין הניצב הצמוד לזווית מסויימת לבין היתר הוא קבוע לאותה זווית ונקרא "קוסינוס הזווית".
• במשולש ישר זווית שזוויותיו החדות הן 30 ו-60 הניצב שמול ה-30 שווה למחצית היתר. משולש זה ניקרא גם משולש זהב
• אם במשולש ישר זווית אחד הניצבים שווה למחצית היתר, אז הזווית שמול הניצב שווה 30 מעלות.
• במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר.
• משולש שבו אחד התיכונים שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה, הוא משולש ישר זווית. והצלע אותה הוא חוצה היא היתר.
• הניצב במשולש ישר זווית הוא הממוצע הגיאומטרי של היתר והיטלו של ניצב זה על היתר.
• אם הגובה לאחת הצלעות במשולש הוא הממוצע הגיאומטרי של היטלי שתי הצלעות האחרות על צלע זאת אז המשולש ישר זווית.
• בכל משולש ישר זווית סכום שטחי הריבועים הבנויים על הניצבים שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר. (משפט פיתגורס)

משפטי חפיפה

שים לב: משפטי החפיפה נובעים כולם מחוק דמיון משולשים.

הגדרה: משולש חופף למשולש אחר כאשר כל צלעותיהם וכל זוויותיהם שוות בהתאמה.

• אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי צלעות והזווית שכלואה ביניהן המשולשים חופפים. (משפט חפיפה צ.ז.צ)
• אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי זוויות והצלע הכלואה ביניהן המשולשים חופפים. (משפט חפיפה ז.צ.ז.)
• [[/אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי צלעות והזווית שמול הצלע הגדולה מביניהן המשולשים חופפים/]]. (משפט חפיפה צ.צ.ז)
• אם בשני משולשים שוות בהתאמה שלוש צלעות המשולשים חופפים. (משפט חפיפה צ.צ.צ)
• במשולשים חופפים מול צלעות שוות זוויות שוות
• במשולשים חופפים מול זוויות שוות צלעות שוות
• צלעות מתאימות במשולשים חופפים (צמב"ח)
• זוויות מתאימות במשולשים חופפים

דמיון משולשים (וחוקים הנובעים ממנו)

כדי להוכיח דמיון משולשים די להוכיח כי:

• שתי זוויות שוות בהתאמה - אם שתי זווית במשולש שוות לשתי זוויות במשולש אחר אז הזווית השלישית שווה.
• יש יחס שווה בין שלושת הצלעות במשולש אחד לשלושת הצלעות במשולש שני.
• [[/קיים יחס שווה בין שני זוגות צלעות בשני המשולשים והזווית בין הצלעות האלה שווה בשני המשולשים/]].
• [[/אם בשני משולשים קיים יחס שווה בין שני זוגות של צלעות מתאימות והזוויות שמול הצלע הגדולה מהשתיים שוות בהתאמה אז המשולשים דומים/]].

דמיון בין שני משולשים מכנה יחס פרופורציוני לצלעות ולזוויות:

• גבהים מתאימים במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כיחס הצלעות המתאימות.
• חוצי זוויות מתאימות במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כמו יחס הצלעות המתאימות.
• תיכונים מתאימים במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כיחס הצלעות המתאימות.
• ההיקפים של משולשים דומים מתייחסים זה לזה כמו יחס הצלעות המתאימות.
• היחס בין שטחי משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדימיון שבין הצלעות המתאימות.
• [[/הגובה ליתר במשולש ישר זווית מחלק את המשולש לשני משולשים דומים שכל אחד דומה למשולש המקורי/]] (מכאן המשפט : במשולש ישר זווית שזוויותיו החדות הן 30 ו-60 הניצב שמול ה-30 שווה למחצית היתר.)
• הגובה ליתר במשולש ישר זווית הוא הממוצע הגאומטרי של היטלי הניצבים על היתר.

קטע אמצעים במשולש

הגדרה: קטע אמצעים במשולש הוא קטע העובר בין אמצעי שתי צלעות במשולש כאשר:

• קטע אמצעים במשולש חוצה את שתי הצלעות שהוא חותך.
• קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע שאותה אינו חותך.
• קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע שאותה אינו חותך.

הוכחה:

• קטע היוצא מאמצע צלע אחת ומגיע לאמצע צלע אחרת במשולש הוא קטע אמצעים עפ"י הגדרתו.
• אם קטע במשולש חוצה צלע אחת ומקביל לצלע אחרת, הוא קטע אמצעים.
• קטע המקביל לאחת הצלעות במשולש ושווה למחציתה הוא קטע אמצעים במשולש.
• קטע אמצעים במשולש.
• אם נעביר קטע אמצעים במשולש, כל קטע שנעביר מהקדקוד של שתי הצלעות הנחצות לצלע השלישית יצור שני משולשים שחלקי קטע האמצעים במשולש הגדול יהוו קטע אמצעים בהם.

קטע אמצעי במשולש:

• ישר המקביל לצלע של משולש וחוצה צלע אחרת, בהכרח עובר גם דרך אמצע הצלע השלישית, כלומר, הוא קטע אמצעים.
• קטע אמצעים המחבר את השוקיים - חוצה את הגובה לבסיס .
• קטע אמצעים במשולש עובר בהכרח דרך אמצע כל קטע המחבר בין הקדקוד שמחבר את הצלעות שהוא חוצה לבין הצלע לה הוא מקביל, וחותך את שטח המשולש למשולש קטן וטרפז ביחס 1:3.
• [[/קטע אמצעים במשולש מחלק אותו למשולש ולטרפז כך ששטח הטרפז גדול פי 3 משטח המשולש שנוצר/]] (לא לציטוט בבגרות)

פרופורציה

• כל שני תיכונים במשולש מחלקים זה את זה לשני קטעים כך שהקטע הקרוב לקודקוד גדול פי שניים מהקטע הקרוב לצלע.
• חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית לשני קטעים המתייחסים זה לזה כמו היחס שבין הצלעות הכולאות את הזווית.
• קטע המחבר קודקוד במשולש עם הצלע שמולו ומחלק אותה לשני קטעים המתייחסים זה לזה כמו היחס שבין שתי הצלעות האחרות- חוצה את זווית המשולש.
• ישר המקביל לצלע של משולש חותך ממנו משולש הדומה לו.
• כל נקודה על האנך האמצעי נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע.
• כל נקודה הנמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע נמצאת על האנך האמצעי.
• שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית מקצים עליהן קטעים פרופורציוניים.
• שני ישרים המקצים על שוקי הזווית קטעים פרופורציוניים מקבילים זה לזה.
• כל נקודה הנמצאת על במרחקים שווים משוקי הזווית נמצאת על חוצה הזווית
• כל נקודה הנמצאת על חוצה הזווית נמצאת במרחקים שווים משוקי הזווית.
• כל נקודה על אנך לקטע היוצא ממרכזו נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע.
• כל נקודה הנמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע נמצאת על האנך היוצא ממרכזו.
• כל נקודה הנמצאת על חוצה הזווית נמצאת במרחקים שווים משוקי הזווית.

מפגש התיכונים

נקודת מפגש התיכונים נקראת גם בשם מרכז הכובד

• כל שני תיכונים במשולש מחלקים זה את זה לשני קטעים כך שחלק אחד של התיכון (הקרוב לקדקוד) גדול פי שניים מהחלק השני.
• במשולש כל שני תיכונים מחלקים זה את זה, כך שחלק התיכון הקרוב לקדקוד מהוו מהתיכון (כולו), והחלק הקרוב לצלע מהווה מהתיכון כולו.
• [[/שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת ומחלקים זה את זה כך שחלק אחד של התיכון (הקרוב לקדקוד) גדול פי שניים מהחלק השני/]].

מפגש הגבהים

• שלושת הגבהים במשולש נפגשים בנקודה אחת.

משפט פיתגורס

• במשולש ישר-זווית ריבוע היתר שווה לסכום ריבועי הניצבים
• אם שלוש צלעות המשולש ABC -a,b,c מקיימות את השוויון: , אזי הזווית מול הצלע c היא ישרה.

היטל

• אם מנקודה מחוץ לישר יוצאים שני קטעים משופעים שווים אז גם היטליהם שווים וההיפך.

מעגל חוסם משולש

• שטח משולש שווה למכפלת רדיוס המעגל החוסם במשולש כפול מחצית היקף המשולש (לא לציטוט בבגרות)

היטל

• אם היטלו של משופע אחד גדול מהיטלו של משופע שני אז המשופע הראשון גדול מהמשופע השני.
• בתבניות ניתן להציב גודל מסוים במקום גודל השווה לו.