משיק למעגל = הוא ישר העובר בנקודה אחת ויחידה המשותפת למעגל.
משוואת המשיק למעגל ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 {\displaystyle \ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}} ( x − a ) ( x 1 − a ) + ( y − b ) ( y 1 − b ) = r 2 {\displaystyle (x-a)(x_{1}-a)+(y-b)(y_{1}-b)=r^{2}}
הוכחה זו מציגה את הדרך הארוכה למציאת משוואת המשיק למעגל ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 {\displaystyle \ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}} M ( a , b ) {\displaystyle M(a,b)} P ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle P(x_{1},y_{1})}
נורמל = ישר המאונך לפונקציה בנקודת ההשקה. במעגל הרדיוס הוא תמיד הנורמל למעגל.
שלבים
נוסחה כללית
דוגמה ( x − 1 ) 2 + ( y − 4 ) 2 = 10 {\displaystyle (x-1)^{2}+(y-4)^{2}=10} הורדת אנך (נורמל)
הורדת אנך M P {\displaystyle MP} M ( a , b ) {\displaystyle M(a,b)} P ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle P(x_{1},y_{1})}
הורדת אנך M P {\displaystyle MP} M ( 1 , 4 ) {\displaystyle M(1,4)} P ( 4 , 5 ) {\displaystyle P(4,5)} נמצא את השיפוע הנורמל
m m p = y 1 − b x 1 − a {\displaystyle m_{mp}={\frac {y_{1}-b}{x_{1}-a}}} m m p = 5 − 4 4 − 1 = 1 3 {\displaystyle m_{mp}={\frac {5-4}{4-1}}={\frac {1}{3}}} מאחר שהמשיק אנך לנורמל M P {\displaystyle MP} m 1 ∗ m 2 = − 1 {\displaystyle m_{1}*m_{2}=-1}
M p o = − x 1 − a y 1 − b {\displaystyle M_{po}=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}} M p o = − 3 {\displaystyle M_{po}=-3} נמצא את משוואת המשיק באמצעות נקודת ההשקה והשיפוע
y − y 1 = − x 1 − a y 1 − b ( x − x 1 ) {\displaystyle y-y_{1}=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}(x-x_{1})} y − 5 = − 3 ( x − 4 ) {\displaystyle y-5=-3(x-4)} y = − 3 x + 17 {\displaystyle y=-3x+17}
נפטר מהמונה
y ( y 1 − b ) − y 1 ( y 1 − b ) = − ( x 1 − a ) ( x − x 1 ) {\displaystyle y(y_{1}-b)-y_{1}(y_{1}-b)=-(x_{1}-a)(x-x_{1})}
נוציא סוגרים ונעביר אגפים
( y − y 1 ) ( y 1 − b ) + ( x 1 − a ) ( x − x 1 ) = 0 {\displaystyle (y-y_{1})(y_{1}-b)+(x_{1}-a)(x-x_{1})=0}
השלבים הבאים נועדו לעצב את המשוואה כך שנגיע אל הצורה הראשונית של משוואת המעגל
נוסיף ערכי a {\displaystyle a} b {\displaystyle b}
( y − y 1 − b + b ) ( y 1 − b ) + ( x 1 − a ) ( x − x 1 − a + a ) = 0 {\displaystyle (y-y_{1}-b+b)(y_{1}-b)+(x_{1}-a)(x-x_{1}-a+a)=0}
נכניס לסוגרים על מנת שנוכל להוציא x − a {\displaystyle x-a}
( x − a − ( x 1 − a ) ) ( x 1 − a ) + ( y − b − ( y 1 − b ) ) ( y 1 − b ) = 0 {\displaystyle (x-a-(x_{1}-a))(x_{1}-a)+(y-b-(y_{1}-b))(y_{1}-b)=0}
נפתח סוגריים באמצעות הכפלה
( x − a ) ( x 1 − a ) − ( x 1 − a ) 2 + ( y − b ) ( y 1 − b ) − ( y 1 − b ) 2 = 0 {\displaystyle (x-a)(x_{1}-a)-(x_{1}-a)^{2}+(y-b)(y_{1}-b)-(y_{1}-b)^{2}=0}
נסדר אגפים
( x − a ) ( x 1 − a ) + ( y − b ) ( y 1 − b ) = ( x 1 − a ) 2 + ( y 1 − b ) 2 {\displaystyle (x-a)(x_{1}-a)+(y-b)(y_{1}-b)=(x_{1}-a)^{2}+(y_{1}-b)^{2}}
הצבת הנקודה P ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle P(x_{1},y_{1})}
( x − a ) ( x 1 − a ) + ( y − b ) ( y 1 − b ) = r 2 ⏟ P ∘ → ( x 1 − a ) 2 + ( y 1 − b ) 2 = r 2 {\displaystyle (x-a)(x_{1}-a)+(y-b)(y_{1}-b)=\underbrace {r^{2}} _{P_{\circ }\rightarrow (x_{1}-a)^{2}+(y_{1}-b)^{2}=r^{2}}}
דרך זו מהירה יותר ממשוואת המשיק באמצעות נקודה דרכה עובר המשיק למציאת נקודת ההשקה.
הוכח כי ישר א הוא אנך למעגל - יש להוכיח שהוא מאונך לרדיוס בקצהו. 
