מתמטיקה תיכונית/הסתברות/מיונים ולוחות

מבוא

בפרקים הקודמים דיברנו על הסתברות, התחלנו במודל מתמטי ועברנו לסיכויים. מיונים ולוחות שייכים לתחום ההסתברות - אנו מתחילים בנתונים שנאספו בפועל ועוברים לתיאורם ולבניית מודל שלהם. לפירוט על ההבדל ראו מהי הסתברות ומהי סטטיסטיקה?

כדי להדגים את הנושא נשתמש בשאלה מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/2012/קיץ/שאלון 801/תרגיל 6. נוסח השאלה עצמו מופיע בטופס הבחינה.

סיכום של נתונים מופיע פעמים רבות, בעיקר בעיתונים ומקורות פופולרים, בתור גרפים ולא באופן מספרי. תחום העיסוק של הצגת מידע באופן גרפי נקרא אינפוגרפיקה. הסיבה לשימוש בו נובעת מכך שלעיתים הצגה גרפית (לדוגמה כגרף פאי) מבליטה ביתר כקלות תוצאות.

ניתוח השאלה

למרבה הצער, אי אפשר לנתח תוצאות גרפיות ולכן על פי רוב השלב הראשון הוא העברת הנתונים מהגרף ללוח מספרי. מתמטיקה היא מקצוע לעצלנים אבל כאן אנחנו צריכים לבצע עבודה שחורה.

ציון 5	ציון 6	ציון 7	ציון 8	ציון 9	ציון 10
2	5	6	4	7	4

שימו לב שהטורים בטבלה מסודרים באופן עולה. אם היינו מעוניינים רק בשכיחויות לא הייתה סיבה לעשות זאת. אולם, כשנרצה לחשב את החציון סדר זה יהיה יותר נוח ולכן כדאי לשמור עליו.

חישוב מדדים

חישוב שכיח

השכיח הוא הערך המופיע הכי הרבה פעמים בנתונים. אם ישנם כמה ערכים כאלו, כולם נחשבים לשכיחים.

כדי למצוא את השכיח נעבור על הנתונים בטבלה ונבחר את זה שמספר ההופעות שלו הוא הגבוה ביותר. בשאלה שלנו הציון השכיח הוא 9 המופיע 7 פעמים, יותר מכל ציון אחר.

חישוב ממוצע

ממוצע חשבוני, המדד שאליו מתכוונים בשפת היום יום כאשר אומרים ממוצע הוא סכום הנתונים חלקי מספרם.

כלומר, עבור קבוצת המספרים $\{x_{1},x_{2}...x_{n}\}$ הממוצע החשבוני הוא:

${\bar {x}}={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}={\frac {x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{n}}{n}}$

בשאלה שלנו יש 28 ציונים.

סכום הציונים הוא 5+ 5 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 8 + 8 + 8 + 8 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 10 + 10 + 10 + 10 = 217

הציון הממוצע הוא ${\frac {217}{28}}=7.75$

ממוצע משוקלל וחישוב הממוצע בעזרת חלוקה לקבוצות

למרבה המזל, ניתן לקצר את החישוב על ידי חלוקת נתונים לקבוצות. אם חילקנו את הנתונים לקבוצות בהן ידוע לנו גודל הקבוצה והציון הממוצע בה הממוצע משוקלל לפי גודל הקבוצה יהיה שווה לממוצע האיברים.

בשאלה שלנו ניתן לחלק את התלמידים לקבוצות לפי הציון שקיבלו. קבוצת התלמידים שקיבלו את הציון 9 היא בגודל 7. הציון הממוצע בקבוצה זו הוא כמובן 9. לאור זאת ניתן לחשב את הממוצע גם כך :

5*2 + 6*5 + 7*6 + 8*4 + 9*7 + 10*4 = 217

הציון הממוצע הוא ${\frac {217}{28}}=7.75$

שימו לב כי ניתן לחלק לקבוצות כרצוננו. לו היה נתון מספר הבנים והבנות והציון לכל קבוצה יכולנו לחשב גם לפי קבוצות אלו.

חישוב ממוצע בעזרת נקודת יחוס

עוד טכניקה (מילה יפה לטריק) שניתן להשתמש בה לחישוב הממוצע הוא שימוש בנקודת יחוס.

נניח שאנו מסתכלים על הנתונים ונראה לנו שהם נעים סביב 7. אנחנו יכולים לבחור את 7 כנקודת יחוס ולמדוד את הנתונים יחסית אליו. הציון 9 הוא $9-7=2$ יחסית ל 7. הציון 6 הוא $6-7=-1$

סכום הציונים היחסיים הוא

$(5-7)*2+(6-7)*5+(7-7)*6+(8-7)*4+(9-7)*7+(10-7)*4$

$=(-2)*2+(-1)*5+(0)*6+(1)*4+(2)*7+(3)*4$

$=-4-5+0+4+14+12$

$=21$

נחשב את הממוצע של הציון היחסי ${\frac {21}{28}}=0.75$

נוסיף לממוצע הציון היחסי את נקודת היחוס ונקבל את הממוצע $7+0.75=7.75$

חישוב חציון

החציון הוא האיבר המרכזי כאשר ממינים את אברי הקבוצה.

למשל החציון של הקבוצה {1,2,10} הוא 2. כאשר מספר הנתונים אי-זוגי הגדרת החציון פשוטה, אולם כאשר הוא זוגי ההגדרה אינה חד-משמעית. נהוג לקבוע שבמקרים כאלה החציון הוא הממוצע של שני הנתונים המרכזיים.

כדי למצוא את החציון ניתן למיין את האיברים ולאחר מכן למצוא את האיבר המרכזי.

כאשר האיברים מקובצים לפי ערכם אין צורך לסדר את כל האיברים אלא:

• מחלקים את גודל הקבוצה לשניים כדי למצוא את האיבר המרכזי.
• מתחילים בקבוצה שערכה הנמוך ביותר.
• סוכמים את גדלי הקבוצות עד שמגיעים לראשונה לסכום הגדול ממיקום החציון.
• החציון שייך לקבוצה זו ולכן הוא בעל הערך של הקבוצה.

נדגים את מציאת החציון בשאלה.

• ישנם 28 ציונים ולכן החציון הוא הציון ה 14 (או ממוצע שלו ושל האיבר ה 15, תלוי בהגדרה הנבחרת)
• גודל הקבוצה הראשונה (ציון 5 ) הוא 2 $2<14$
• גודל שתי הקבוצות הראשונות הוא $2+5=7<14$
• גודל שלוש הקבוצות הראשונות הוא $2+5+6=13<14$
• גודל ארבע הקבוצות הראשונות הוא $2+5+6+4=17>14$

הקבוצה הרביעית (ציון 8 ) מכילה את האיברים 14 עד 17 ולכן גם את האיבר ה 14 (והאיבר ה 15). לכן האיבר ה 14 שווה בערכו ל 8. חציון הקבוצה הוא 8.

חישוב הסתברויות

לפני שנראה כיצד מחשבים את ההסתברויות חשוב לציין כי ההסתברויות במדגם לא בהכרח תהיינה זהות להתפלגות ממנה אנו דוגמים.

לדוגמה, חישבו על קוביה הוגנת ומדגם של 5 הטלות שלה. לפחות אחת מהפאות לא תוטל במדגם. בשל כך ההסתברות שלה במדגם הוא 0 בעוד שהסתברות לה בהתפלגות ממנה אנו דוגמים היא ${\frac {1}{6}}$.

השאלה האם ההסתברויות במדגם דומות לאלו שבהתפלגות הן תחום מחקר חשוב בסטטיסטיקה שלמרבה הצער אינו נכלל בחומר הלימוד.

למרות שאיננו עונים על שאלה זו, אנו יכולים להתייחס למדגם כנתון ולשאול על ההסתברויות בו, ללא קשר לאופן יצירתו.

כלומר, איננו דנים בסיכוי לקבל ציון 10. אנו שואלים מה הסיכוי של תלמיד בכיתה לקבל ציון 10.

התשובה תהיה מספר התלמידים בכיתה שקיבלו ציון 10 חלקי כלל התלמידים בכיתה ${\frac {4}{28}}={\frac {1}{7}}$.