מתמטיקה תיכונית/וקטורים/ישרים ומישורים במישור ובמרחב/הצגה פרמטרית של מישור

בפרק הקודם ראינו כיצד ניתן לבטא מישור במרחב באמצעות משוואה אלגברית מהצורה $ax+by+cz+d=0$. בפרק זה, אנחנו נלמד על דרך נוספת לייצג מישור במרחב, וזאת באמצעות ההצגה הפרמטרית של המישור, אנחנו נלמד על מרכיביה, סימונה וכיצד להמיר ממנה למשוואת מישור ובחזרה.

כמו בהצגה פרמטרית של ישר, גם בהצגה פרמטרית של מישור יש פרמטר, רק שבמשוואת מישור יש שני פרמטרים. הפרמטרים יכולים להיות כל שני מספרים ממשיים וכל זוג של מספרים שלמים נותן נקודה אחרת על המישור.

נקודות על מישור באמצעות שני וקטורים שעליו

בהינתן שני וקטורים בלתי תלויים במרחב, נאמר ${\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OB}}$, אנחנו יכולים לבנות מישור שלם שעובר דרך שניהם בדיוק, בעצם, כל נקודה על המישור שנפרש על ידי שניהם ניתנת לביטוי בעזרתם.

טענה 1: נקודות על מישור באמצעות שני וקטורים שעליו בהינתן הוקטורים ${\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OB}}$. כל נקודה $C$ על המישור אשר נפרש על-ידי שניהם מקיימת: ${\overrightarrow {OC}}=t_{1}\cdot {\overrightarrow {OA}}+t_{2}\cdot {\overrightarrow {OB}}$ עבור $t_{1},t_{2}$ מספרים ממשיים כלשהם.

בעצם, כל וקטור על המישור שנפרש (או, נוצר) על-ידי שניהם הוא קומבינציה ליניארית שלהם.

הסימון של ההצגה הפרמטרית של המישור ומשמעותו

לכל הצגה פרמטרית של מישור יש את הצורה הבאה:

${\begin{matrix}\pi :&{\vec {x}}={\vec {a}}+t_{1}\cdot {\vec {u}}+t_{2}\cdot {\vec {v}}\end{matrix}}$

הסבר על הסימון

$\pi$

השם של המישור, אותו התפקיד כמו של $l$ בישרים פרמטריים.

$x$

אותו התפקיד כמו בישרים.

$a$

וקטור שמוצאו בראשית וסופו בנקודה כלשהי על המישור (לא משנה איזו). כאשר הוא לא מצויין מניחים שהוא הנקודה $(0,0,0)$.

$t_{1}$

הפרמטר הראשון, יכול להיות כל מספר ממשי.

$u$

וקטור שנמצא כולו במישור, בלתי תלוי בוקטור ${\vec {v}}$. וקטור זה נקרא גם וקטור כיוון (או, אחד מוקטורי הכיוון).

$t_{2}$

הפרמטר השני, יכול להיות כל מספר ממשי.

${\vec {v}}$

וקטור שנמצא כולו במישור, חייב להיות בלתי תלוי בוקטור ${\vec {u}}$. וקטור זה נקרא גם וקטור כיוון (או, אחד מוקטורי הכיוון).

דוגמאות

להלן דוגמאות של הצגות פרמטריות של מישורים:

• ${\pi }_{1}:{\vec {x}}=(1,-6,1)+t_{1}(5,0,-12)+t_{2}(1,-3,0)$
• ${\pi }_{2}:{\vec {x}}=(0,0,2)+n(1,2,0)+m(2,-1,0)$
• ${\pi }_{3}:{\vec {x}}=t_{1}(3,-3,1)+t_{2}(1,3,0)$

הצגות פרמטריות שקולות, מישורים מתלכדים

כידוע כבר מהפרק על הצגות פרמטריות של ישרים, יתכן שיש שתי הצגות פרמטריות שנראות אמנם שונות, אך הן בעצם מייצגות את אותו המישור. כפי שעשינו בפרק על ישרים נעשה גם כאן.

שימו לב: תמיד לפני שמתחילים לבצע את הטכניקה של השוואת ההצגות צריך לוודא ששמות הפרמטרים בכל הצגה שונים זה מזה לחלוטין!

הטכניקה היא ליצור נקודה כללית על המישור לכל מישור, שמובטאת באמצעות שני הפרמטרים. ואז להשוות את שתי הנקודות שיצאו קוארדינטה אחרי קוארדינטה. מכך מתקבלות שלוש משוואות בארבעה משתנים שיש לפתור, לפי מספר הפתרונות של המשוואות ניתן לדעת האם ההצגות מייצגות את את אותם המישורים.

הכללים לפיהם מאבחנים האם ההצגות הן של אותו המישור הם אלו:

אין פתרון

אם אין פתרון שמקיים את כל שלושת המשוואות, ההצגות הן בטוח של שני מישורים שונים.

אינסוף פתרונות

מצב של אינסוף פתרונות הוא בעייתי. עלינו לקבוע את המצב ההדדי בין המישורים (על כך נלמד בפרק הבא בהרחבה).

אם הגענו למצב שבו יש למשוואה אינסוף פתרונות, עלינו לבדוק אם כל אחד מוקטורי הכיוון של מישור אחד, תלויים בשני וקטורי הכיוון של המישור השני, אם כן, ההצגות הפרמטריות אכן מייצגות את אותו המישור.

דוגמאות

נדגים את הטכניקה לבדיקה אם שתי הצגות פרמטריות של מישורים הן שקולות.

בהינתן המישורים:

${\pi }_{1}:{\vec {x}}=(1,0,2)+t_{1}(-1,0,2)+t_{2}(0,1,-1)$

${\pi }_{2}:{\vec {x}}=(-1,0,6)+n(-1,1,1)+m(-2,3,1)$

כפי שניתן לראות שתי ההצגות הפרמטריות האלו שונות מאוד זו מזו, אך ייתכן שהן מייצגות את אותו המישור.

ראשית ניצור נקודה כללית על כל מישור:

${\begin{matrix}(1,0,2)+(-t_{1},0,2t_{1})+(0,t_{2},-t_{2})&=&(1-t_{1},t_{2},2+2t_{1}-t_{2})\end{matrix}}$

${\begin{matrix}(-1,0,6)+(-n,n,n)+(-2m,3m,m)&=&(-1-n-2m,n+3m,6+n+m)\end{matrix}}$

כעת נשווה את שתי הנקודות זו לזו, קוארדינטה אחרי קוארדינטה ונקבל את שלושת המשוואות:

${\begin{matrix}1-t_{1}&=&-1-n-2m\\t_{2}&=&n+3m\\2+2t_{1}-t_{2}&=&6+n+m\end{matrix}}$

עכשיו תורכם: פתרו את המערכת של המשוואות הנ"ל והראו שיש אינסוף פתרונות. טיפ: הציבו את $t_{2}$ מהמשוואה השניה במשוואה השלישית ובודדו את $t_{1}$, לאחר מכן הציבו את $t_{1}$ במשוואה הראשונה.

כיוון שאנחנו לא מפרטים את החישובים, נמשיך מהנקודה שאחרי החישובים הראו לנו שיש אינסוף פתרונות למשוואות.

כעת עלינו לבדוק שכל וקטור כיוון של המישור השני תלוי בוקטורי כיוון של המישור הראשון. כלומר, עלינו להראות שקיימים מספרים ממשיים כלשהם $a,b,c,d$ שעבורם מתקיים:

${\begin{matrix}(-1,1,1)&=&a(-1,0,2)+b(0,1,-1)\\(-2,3,1)&=&c(-1,0,2)+d(0,1,-1)\end{matrix}}$

אם יש פתרון יחיד לכל אחד מהמשתנים, ההצגות הפרמטריות מייצגות את אותו המישור (לעיתים אומרים גם שהמישורים מתלכדים).

עכשיו תורכם: פיתרו גם את המערכות של המשוואות למעלה והראו שיש פתרון יחיד.

המרה של הצגה פרמטרית של מישור למשוואה שלו

למרות שההצגה הפרמטרית של מישור היא קלה לחישוב, לעתים מתעורר הצורך להשתמש דווקא במשוואת המישור ולא בהצגה הפרמטרית, לכן נצטרך דרך למצוא את משוואת המישור אותו מייצגת ההצגה הפרמטרית.

דרך א'-בעזרת שלוש נקודות

כאשר נתונה לנו הצגה פרמטרית של מישור, נציב בפרמטרים מספרים ממשיים (בדרך כלל עדיף להשתמש בקומבינציות של $0$ ו- $1$) כרצוננו כדי לקבל שלוש נקודות על המישור, ואז בעזרת הטכניקה שמוצעת כאן מוצאים את משוואת המישור. כעת נדגים.

דוגמאות

• בהינתן ההצגה הפרמטרית של המישור:

$\pi :{\vec {x}}=(1,0,0)+t_{1}(-1,2,1)+t_{2}(1,-2,3)$

ננסה למצוא את המשוואה שלו. נציב $t_{1}=t_{2}=0$ כדי לקבל את הנקודה $(1,0,0)$. נציב $t_{1}=t_{2}=1$ כדי לקבל את הנקודה $(1,0,4)$. נציב $t_{1}=1,t_{2}=0$ כדי לקבל את הנקודה $(0,2,1)$.

שימו לב: בדרך כלל יש לבדוק ששלוש הנקודות שיצאו לנו אינן נמצאות על ישר אחד, בתרגילים אין להשמיט את ההליך הזה.

נניח שמשוואת המישור שלנו היא:

${\begin{matrix}\pi :&ax+by+cz+d=0\end{matrix}}$

כעת נציב את שלוש הנקודות כדי לקבל את הערכים של המשתנים $a,b,c,d$.

עכשיו תורכם: זו ההזדמנות שלכם לתרגל שוב את הטכניקה למציאת משוואת מישור באמצעות שלוש נקודות שעליו שנלמדה בפרק הקודם.

דרך ב'-בעזרת וקטור שניצב למישור

שקלו לדלג על נושא זה אמנם הפרק שייך לכאן כי הוא מפרט דרך נוספת להגיע למשוואת מישור מהצגה פרמטרית אך הטכניקות כאן מתבססות על חומר שעדיין לא נלמד. עם זאת, החלק הזה הוא חובה, כך שלאחר קריאת הפרק ניצבות יש לחזור חזרה לכאן.

החלק הזה מתבסס לחלוטין על הטענה הבאה (אותה לא נוכיח כאן):

טענה 2: וקטור שניצב למישור בהינתן המישור: ${\begin{matrix}\pi :&ax+by+cz+d=0\end{matrix}}$ הוקטור $(a,b,c)$ ניצב למישור $\pi$.

כלומר, הוקטור של שלושת המקדמים של משוואת המישור (נקרא גם וקטור המקדמים) ניצב למישור.

כידוע מהפרק על ניצבות, וקטור ניצב למישור אם ורק אם הוא ניצב לשני הוקטורי כיוון של המישור (או, וקטור ניצב למישור אם ורק אם הוא ניצב לשני וקטורים בלתי תלויים שנמצאים על המישור).

לכן, בהינתן הצגה פרמטרית של מישור, נמצא וקטור כלשהו שניצב למישור בעזרת הטכניקה שלמדנו בפרק על ניצבות, וקטור זה ישמש לנו כוקטור המקדמים של המישור. כעת נותר רק למצוא את $d$. אבל זה פשוט, מציבים נקודה שנמצאת על המישור בתוך משוואת המישור החלקית שלנו ומבודדים את $d$. התהליך יתברר באמצעות הדוגמאות.

דוגמאות

• בהינתן המישור:

${\begin{matrix}\pi :&{\underline {x}}=(0,1,0)+t_{1}(2,-2,1)+t_{2}(1,1,-1)\end{matrix}}$

ראשית נמצא וקטור שניצב למישור הנ"ל. נסמן: ${\vec {u}}=(a,b,c)$. כיוון שהוא ניצב לשני וקטורי הכיוון, נקבל את המשוואות הבאות מהשוואת המכפלות הסקלריות איתם ל- $0$:

${\begin{matrix}2a-2b+c&=&0\\a+b-c&=&0\end{matrix}}$

נבודד את $c$ במשוואה השניה ונקבל את המשוואה:

${\begin{matrix}c&=&a+b\end{matrix}}$

נציב במשוואה הראשונה ונקבל:

${\begin{matrix}2a-2b+a+b&=&3a-b&=&0\end{matrix}}$

נבחר את $a$ להיות המשתנה החפשי שלנו. נביע את $b$ ואת $c$ באמצעות $a$:

${\begin{matrix}b&=&3a\\c&=&4a\end{matrix}}$

נבחר $a=1$ ונקבל:

${\begin{matrix}{\underline {u}}&=&(1,3,4)\end{matrix}}$

כלומר, משוואת המישור החלקית שלנו, נראית כרגע כך:

${\begin{matrix}\pi :&x+3y+4z+d=0\end{matrix}}$

עלינו למצוא את $d$. נציב במשוואה נקודה שאנחנו יודעים שהיא על המישור, כמו $(0,1,0)$. ונקבל ש:

${\begin{matrix}3+d&=&0\\d&=&-3\end{matrix}}$

משוואת המישור שלנו היא לכן:

${\begin{matrix}\pi :&x+3y+4z-3=0\end{matrix}}$.

המרה של משוואת מישור להצגה פרמטרית

כפי שניתן לראות, הצגה פרמטרית היא ללא ספק דרך נוחה לבטא את המישור, לעתים אפילו יותר ממשוואה. לכן עלינו לשאול, בהינתן משוואת מישור, כיצד נמיר אותה להצגה פרמטרית? גם כאן, יש לנו שתי דרכים.

דרך א' - בעזרת שלוש נקודות שעל המישור

דרך זו היא הפשוטה ביותר להבנה אך המייגעת ביותר לביצוע. כפי שידוע לנו, ניתן לבנות הצגה פרמטרית באמצעות נקודה על המישור ושני וקטורים שנמצאים על המישור. בהנחה שיש לנו שלוש נקודות על המישור, שהן אינן על ישר אחד, ניתן להשיג את אלו.

נסביר את הטכניקה באמצעות דוגמה.

דוגמאות

• ניקח את משוואת המישור:

${\begin{matrix}\pi :&2x-y+z-2=0\end{matrix}}$

כעת אנו מעונינים להשיג שלוש נקודות עליו, נציב $x=y=0$:

${\begin{matrix}A(0,0,2)\end{matrix}}$

נציב $x=z=0$:

${\begin{matrix}B(0,-2,0)\end{matrix}}$

נציב $y=z=0$:

${\begin{matrix}C(1,0,0)\end{matrix}}$

ברור ששלושת הנקודות $A,B,C$ לא נמצאות על אותו הישר, לכן נוכל למצוא 2 וקטור כיוון:

${\begin{matrix}{\overrightarrow {AC}}&=&(1,0,-2)\\{\overrightarrow {AB}}&=&(0,-2,-2)\end{matrix}}$

ניתן לראות ששני וקטורים אלה הם בלתי-תלויים, הוקטורים מוכלים כולם בתוך המישור (נקודת הקצה ונקודת המוצא נמצאות על המישור ולכן גם הם בתוך המישור).

שימו לב: לא הראינו שהנקודות $A,B,C$ הן אכן לא על אותו הישר וכן שהוקטורים ${\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AC}}$ הם בלתי-תלויים. בתרגילים דומים חייבים לבצע את התהליכים האלו ואין לדלג עליהם!

ההצגה הפרמטרית של המישור המבוקש היא לכן:

${\begin{matrix}\pi :&{\vec {x}}=(0,0,2)+t_{1}(1,0,-2)+t_{3}(0,-2,-2)\end{matrix}}$

דרך ב'

הביצוע של הטכניקה הזו יכול להראות מעט מסובך, אך התהליך, לאחר תירגול ממושך של הטכניקה, יכול להעשות במהירות וביעילות.

ראשית, בהינתן משוואת מישור, נבטא את אחד מהמשתנים $x,y,z$ בעזרת שני האחרים, נרשום את המבנה של נקודה כללית על המישור, ונפתח את הביטוי עד שהוא יראה כקומבינציה ליניארית של שני וקטורי כיוון ועוד וקטור כלשהו. נשמע מסובך? לא נורא, נדגים את הטכניקה באמצעות דוגמאות.

דוגמאות

• נמצא את ההצגה הפרמטרית של המישור הבא:

${\begin{matrix}\pi :&-x+y+5z+10=0\end{matrix}}$

נבטא את המשתנה $x$ בעזרת שני המשתנים האחרים (זהו עניין של נוחות, יכולנו לבחור כל אחד משני המשתנים האחרים בשביל המשימה). נקבל:

${\begin{matrix}x&=&y+5z+10\end{matrix}}$

כעת נייצג נקודה כללית על המישור באמצעות שני המשתנים האלה בלבד ונתחיל "לפרק" אותה:

${\begin{matrix}(x,y,z)&=&(y+5z+10,y,z)&=&(10,0,0)+y(1,1,0)+z(5,0,1)\end{matrix}}$

כעת אם נחליף $t_{1}=y,t_{2}=z$, נקבל בעצם את ההצגה הפרמטרית:

${\begin{matrix}\pi :&{\vec {x}}=(10,0,0)+t_{1}(1,1,0)+t_{2}(5,0,1)\end{matrix}}$