מתמטיקה תיכונית/חשבון אינטגרלי/מציאת הפונקציה באמצעות נקודה או שיפוע

מציאת פונקציה באמצעות נגזרת ואו נקודה

הקדמה

בתום פעולת האינטגרציה, אנו מקבלים "תבנית" המתאימה למספר פונקציות המקיימות את הנגזרת הנתונה. המשתנה C הוא הנעלם החסר בכדי לגלות את הפונקציה הקדומה. באמצעות נתון נוסף: נקודה, נגזרת, שיפוע ועוד נוכל להקיש נתונים ולגלות את הפונקציה הקדומה. בפרק זה, נשתדל להציג מגוון נתונים המסייעים לנו בגילוי הפונקציה, באמצעות אינטגרציה.

אינטגרל ונקודה

מצא את הפונקציה העוברת דרך הנקודה $(3,36)$ והנגזרת שלה היא $f(x)=x^{2}+3$.

נבצע אינטגרציה:

${\begin{aligned}&\int f(x)\\&\int (x^{2}+3)dx\\&{\frac {x^{3}}{3}}+3x+C\\\end{aligned}}$

אם הפונקציה עוברת דרך הנקודה $(3,36)$ - הנקודה צריכה לקיים את המשוואה ולכן, נציב את הנקודה במשוואה ונמצא את נעלם $C$:

${\begin{aligned}&36={\frac {3^{3}}{3}}+3\cdot 3+C\\&36=9+9+C/-18\\&C=18\\&\downarrow \\&{\frac {x^{3}}{3}}+3x+18\\\end{aligned}}$

אינטגרל ונקודת קיצון

מצא את הפונקציה שהנגזרת שלה $f(x)=2x+4$ והערך המינימלי שלה הוא $5$.

נבצע אינטגרציה:

${\begin{aligned}&\int f(x)\\&\int (2x+4)dx\\&{\frac {2x^{2}}{2}}+4x+C\\&x^{2}+4x+C\\\end{aligned}}$

נמצא נקודת קיצון:

${\begin{aligned}&f(x)=2x+4\\&2x+4=0\\&2x=4\\&x=2\\\end{aligned}}$

כאשר לפונקציה יש נקודת קיצון $x=2$, הערך המינימלי שלה (ציר ה- $y$) שווה ל-$5$, כלומר $g(2)=5$ נציב במשוואה:

${\begin{aligned}&x^{2}+4x+C=5\\&x=2\\&2^{2}+4\cdot 2+C=5\\&12+C=5\\&C=-7\\&\downarrow \\&x^{2}+4x-7\\\end{aligned}}$

אינטגרל ושיפוע

הנגזרת של פונקציה היא קו ישר ששיפועו $3$. לפונקציה יש נקודת מינימום $(2,3)$. מצא את הפונקציה.

• נבטא את הפונקציה השניה (נגזרת): $f(x)=3x+n$.
• לפונקציה נקודת מינמום כאשר $x=2$. כלומר, $f'(2)=0$

אינטגרל ומשיק

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.

נגזרת שניה

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.