מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/אסימפטוטות

אסימפטוטה הינה קו גבול אליו הפונקציה מתקרבת יותר ויותר כאשר ערכי ה-x שלה שואפים לאינסוף (אסימפטוטה אופקית) או לאיזור שאינו בתחום ההגדרה (אסימפטוטה אנכית). את האסימפטוטות מחלקים לשתי קטגוריות:

• אסימפטוטות המאונכות לציר ה-X. (מקבילות לציר Y)
• אסימפטוטות המקבילות לציר ה-X.

דוגמא לאסימפטוטה

אסימפטוטה אופקית

1. מציאת ערך ה-X הגדול ביותר בפונקציה.
2. שלושת המצבים:
   • y=0 (מתלכדת עם ציר ה-X בגרף) - כאשר מעריך החזקה הגבוה ביותר נמצא במכנה (מספר קטן חלקי מספר גדול שואף לאפס).
   • אין אסימפטוטה המקבילה לציר X - כאשר מעריך החזקה הגבוה ביותר נמצא במונה. במקרה כזה המכנה הופך להיות לכמו אפס. חלוקה לאפס אינה חוקית, ולכן אין אסימפטוטה אופקית.
   • אסימפטוטה Y היא ערך מקדמי ה-X הגבוה - אם גם במונה וגם במכנה קיים איבר המכיל את x ברמה הגבוהה שנבחרה, הרי שאחרי הצמצום יישארו רק המקדמים של האיברים, ומנתם תהיה ערך האסימפטוטה האופקית.
3. רשימת הערכים בהם:
   • $\lim _{X\to \infty }$.
   • $\lim _{X\to -\infty }$.
4. בדיקת נקודת חיתוך - הצבת הפתרונות y אסימפטוטת בפונקציה.

התנהגות

ערך ה-Y של הפונקציה שואף לערך ה-Y של האסימפטוטה האופקית כאשר X שואף לאינסוף או מינוס אינסוף.

לדוגמה, אם קיימת האסימפטוטה Y = 3 בפונקציה מסוימת, ערך ה-Y של הפונקציה ילך ויתקרב ל-3 ככל שערך ה-X גדל.

• ראו סרטוט

דוגמה

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.

ניקח את הפונקציה $y={\frac {x^{2}+5x}{x^{2}+x-20}}$ ונבדוק בה אסימפטוטות אנכיות ואופקית.

פישוט ותחום הגדרה

כדי להקל על מציאת תחום ההגדרה והשימוש בפונקציה בהמשך, נפשט את הפונקציה. כאן הפישוט ייעשה על ידי הוצאת גורם משותף במונה ופירוק הטרינום במכנה.

$y={\frac {x(x+5)}{(x-4)(x+5)}}$

‎

אחרי הפירוק קל מאוד לראות שתחום ההגדרה של הפונקציה הוא $x\neq 4,x\neq -5$.

אסימפטוטה אנכית וחור

מהן האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה? מכיוון שפירקנו גם את המונה, קל לראות מיידית שרק ‎$x=4$ הוא אסימפטוטה, לעומת $x=-5$ שהוא חור, כי הוא מאפס את המונה אך אחרי הוצאת הגורם המשותף עדיין ניתן להציב 5 ולקבל פיתרון. ‏ כעת נבדוק (בעזרת הטבלה) לאן שואפת הפונקציה (לאלו ערכי y) בסביבת האסימפטוטה שגילינו. ‏

גזירה

לצורך הצבת ערכים מתאימים בטבלה עלינו להציב גם את נקודות הקיצון של הפונקציה בטבלה, כך שלא נטעה ונבחר נקודה שבינה לבין האסימפטוטה יש נקודת קיצון, מה שיגרום לנו לטעות לגבי כיוון הפונקציה באזור האסימפטוטה. לשם כך נגזור את הפונקציה על פי הנוסחה לגזירת מנת פונקציות (ונפשט להקלת השימוש בהמשך).

${\begin{aligned}y'&={\dfrac {(x^{2}+5x)'(x^{2}+x-20)-(x^{2}+5x)(x^{2}+x-20)'}{(x^{2}+x-20)^{2}}}\\&={\dfrac {(2x+5)(x^{2}+x-20)-(x^{2}+5x)(2x+1)}{(x^{2}+x-20)^{2}}}\\&={\dfrac {2x^{3}+5x^{2}+2x^{2}+5x-40x-100-2x^{3}-x^{2}-10x^{2}-5x}{(x^{2}+x-20)^{2}}}\\&={\dfrac {-4x^{2}-40x-100}{(x^{2}+x-20)^{2}}}\\&={\dfrac {-4(x^{2}+10x+25)}{(x^{2}+x-20)^{2}}}\\&={\dfrac {-4(x+5)^{2}}{(x^{2}+x-20)^{2}}}\end{aligned}}$

נקודות קיצון

אחרי הפישוט, קל מאוד למצוא את נקודות הקיצון:

$y'=0$
$\Updownarrow$
${\frac {-4(x+5)^{2}}{(x^{2}+x-20)^{2}}}=0$
$\Updownarrow$
$-4(x+5)^{2}=0$
$\Updownarrow$
$(x+5)^{2}=0$
$\Updownarrow$
$x=-5$

אם כן גילינו נקודת קיצון אפשרית אחת. בשיטה הקלאסית היינו גוזרים את הפונקציה שנית כדי לגלות אם זו אכן נקודת קיצון או רק נקודת פיתול, אבל כעת כשממילא נשתמש בטבלה, הדבר מיותר, כפי שנראה.

בניית הטבלה

מדיה:Example.ogg