מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/אסימפטוטות/אסימפטוטות המאונכות לציר X

אסימפטוטה אנכית

'הגדרה: אסימפטוטה אנכית' אסימפטוטה אנכית הוא ישר מקביל לציר ה-$y$ (דהיינו ישר מהסוג $x=a$) המהווה גבול לפונקציה ($f(x)$) בנקודה קבועה ($a$). ערכי ה-$y$ של הפונקציה $f(x)$ שואפים להגיע לערכו אך אינם יכולים. לכן הפונקציה תנסה להיות הכי קרובה שהיא יכולה לאסימפטוטה כלומר ערך $y$ של הפונקציה שואף להיות במרחק של אינסוף או מינוס אינסוף מהאסימפטוטה. בפועל, הגבול האנכי של פונקציה הם רוב ערכי ה-$x$ בהן הפונקציה לא מוגדרת. במילים אחרות, בכדי למצוא את הגבול נמצא את ערכי ה-$x$ המאפסים את המכנה לאחר פישוט הפונקציה. התוצאה שתתקבל תהיה בגדל גבול חשוד. כאשר נאמת שמדובר באסימפטוטה, תשאף הפונקציה שלנו להיות הכי קרובה לישר זה.

לדוגמה, אסימפטוטות האנכיות של פונקצית השורש $y={\frac {2}{\sqrt {x^{2}-9}}}$ הם כל אותם ערכים המאפסים המכנה בלבד $x^{2}-9=0$ ($x=\pm 3$). נשם לב כי ערכי הפונקציה יעברו בנקודות $x>3;x<-3$.

הוכחה

כפי שניתן לראות בגרף, הפונקציה מנסה להגיע אל ערך הנקודה הנמצאת ב"תחום הלא-מוגדר" (היכן שעוברת האסימפטוטה). היא שואפת להיות הכי קרובה לאסימפטוטה ולכן ערך הנקודות שלה שואף להיות במרחק של אינסוף או מינוס אינסוף; במרחק המזערי ביותר.

נתבונן בפונקציה: $f(x)={\frac {x}{x-2}}$ .

תחום ההגדרה של הפונקציה הוא: $x\neq 2$ ולכן האסימפטוטה שלה עוברת ב- $x=2$ . באזור זה הפונקציה אינה מוגדרת אבל היא שואפת להיות במרחק הקטן ביותר ממנו.

בחקירת התנהגות הפונקציה באמצעות הצבת נקודות בגרף על פי טבלה בה מוצבים ערכי ה-$x$ הקרובים ביותר לאסימפטוטה ניתן לראות כי הפונקציה מנסה להיות ממש קרובה לאסימפטוטה.

תיאור גרפי

ניתן לשרטט אסימפטוטות מאונכות לציר $x$ בשתי אופניים

• 
• 

איך נדע?

בדרך כלל הנתונים של החקירה מספיקים בכדי לדעת. עם זאת, השיטה הנוחה ביותר למסתבכים היא להוסיף לטבלת נקודות הקיצון גם את ערכי האסימפטוטות. כרגיל, בין נקודות אלו נוסיף ערכים נוספים, אחד מכל צד. עבור כל ערך נבדוק האם נגזרת הפונקציה היא חיובית או שלילית:

1. אם הנגזרת חיובית - הפונקציה עולה.
2. אם הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.

חור (נקודת אי רציפות סליקה)

הגדרה: חור הוא נקודה בה הפונקציה אינה מוגדרת.

דוגמה: נתבונן בפונקציה $f(x)={\frac {x^{2}-2x}{x-2}}$ . הפונקציה אינה מוגדרת בנקודה $x=2$ מפני שהמכנה מתאפס. מצד שני, $x=2$ מאפס לא רק את המכנה אלא גם את המונה : $f(x)={\frac {x^{2}-2x}{x-2}}={\frac {x(x-2)}{x-2}}={\frac {x(2-2)}{x-2}}$ כשמצמצמים את הפונקציה ורושמים זאת כך, ברור שלמעט הנקודה $\displaystyle x=2$, מדובר למעשה בפונקציה $\displaystyle f(x)=x$. פונקציה זו אינה שואפת לאינסוף (או למינוס אינסוף) בנקודה $\displaystyle x=2$ (כי אם נציב 2 נקבל ${\frac {0}{0}}$). לכן בנקודה $\displaystyle x=2$ יש פשוט חור.

בדומה לאסימפטוטה של פונקציה רציונאלית, החור מאפס את המכנה אולם הוא מאפס גם את המונה. עם זאת, מאחר שלא תמיד קל לבצע פעולה זו מומלץ לבנות תמיד טבלה.

תיאור גרפי של חור: הבדל בין אסימפטוטה לחור

• 
  אסימפטוטה
• 
  חור - נקודה ספציפית בה הפונקציה לא מוגדרת.

כאשר יש חור, הפונקציה לא מוגדרת בו. לעומת זאת אסימפטוטה ניתן לדמות לסוג של "ישר" אליו הפונקציה תמיד תשאף להיצמד..

בדיקה נקודה חשודה

1. צמצום הפונקציה כמה שניתן ובדיקה האם המכנה והמונה מתאפסים. אם רק המכנה מתאפס סימן שמדובר באסימפטוטה.
   • אם המכנה והמונה מתאפסים יש לנו נקודה חשודה שיכולה להיות אסימפטוטה או חור. נבדוק היכן נמצא הנעלם מסדר הגבוהה ביותר במונה או במכנה. אם הוא במכנה זוהי אסימפטוטה. אם לא במונה זוהי נקודה סליקה. ראה דוגמה, כאן
   • אפשרות נוספת היא לבנות טבלה כאשר יש קושי לדעת:
     • אם יש לנו ערך המאפס את המכנה לאחר צמצום תמיד נבנה טבלה ונבחן האם מדובר בחור או באסימפטוטה:
     • בטבלה יהיו שבעה ערכים כשהמרכזי הוא ערך הנקודה החשודה.
     • יש להציב שישה ערכי $x$ קרובים לתוצאה אותה קיבלנו לפני ואחרי הנקודה.
     • לחשב את ערך ה-$y$ של ה-$x$ באמצעות הצבה בטבלה.
     • לבחון את התנהגות הפונקציה:
       • אם ערך ה-$y$ גדל ככל שמתקרבים לנקודה סימן שמדובר באסימפטוטה.
       • אם ערך ה-$y$ קטן (כלומר מתכנס לנקודה) ככל שמתקרבים לנקודה סימן שמדובר בחור.

דוגמה 1: בדיקה נקודה חשודה טוען את הטאבים... תרגיל נתונה הפונקציה $f(x)={\frac {e^{2x}+4e^{x}+3}{(e^{x}-3)^{2}}}$ מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה מצא את האסימפטוטות של הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה). נמק מצא את נקודות החיתוך עם הצירים. מצא את תחומי העליה והירידה של הפונקציה. נמק על פי תשובותיך לסעיפים א-ד, סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. נושא פונקציה מעריכית, משוואה מעריכית מקור [1] 1 תרגיל (תוכן) נושא (ידע נדרש לפתירת התרגיל) מקור (קישור למסמך המקורי) תרגיל (תוכן) נושא (ידע נדרש לפתירת התרגיל) מקור (קישור למסמך המקורי) 90% #AAAAAA center סעיף א נפתור את המשוואה המעריכית $e^{x}-3\neq 0$ ונקבל $e^{x}\neq 3$ נחלץ את הנעלם $x$ באמצעות פעולה לוגריתמית ונקבל $x\neq ln3$ סעיף ב אסימפטוטה אנכית: פתרנו בסעיף הקודם והיא $x=ln3=~1.1$. בדיקה שלא מדובר בחור עבור הפונקציה $f(x)={\frac {e^{2x}+4e^{x}+3}{(e^{x}-3)^{2}}}$ $2$ $1.5$ $1.2$ 1 $-1.2$ $-1.5$ $-2$ $x$ 4.524 18.68 266.442 גבול חשוד 0.589 0.511 0.433 $y$ מאחר שערך ה-y גדל ככל שמתקרבים לנקודה מדובר באסימפטוטה. לחילופין ניתן לבצע בדיקה על ידי הצבה: $f(x)={\frac {e^{2*ln3}+4e^{ln3}+3}{(e^{ln3}-3)^{2}}}={\frac {9+12+3}{0}}$ מאחר שהמונה אינו מתאפס מדובר באסימפטוטה. אסימפטוטה אופקית: נעזר בדרך הארוכה עבור הפונקציה $f(x)={\frac {e^{2x}+4e^{x}+3}{(e^{x}-3)^{2}}}$ ולאחר פתיחה $f(x)={\frac {e^{2x}+4e^{x}+3}{e^{2x}-6e^{x}+9}}$. עבור תחום חיובי : נחלק את הפונקציה במעריך הגדול ביותר הינו $e^{2x}$ ונקבל $f(x)={\frac {{\frac {e^{2x}}{e^{2x}}}+{\frac {4e^{x}}{e^{2x}}}+{\frac {3}{e^{2x}}}}{{\frac {e^{2x}}{e^{2x}}}-{\frac {6e^{x}}{e^{2x}}}+{\frac {9}{e^{2x}}}}}$. נצמצם ונקבל, $f(x)={\frac {1+{\frac {4}{e^{x}}}+{\frac {3}{e^{2x}}}}{1-{\frac {6}{e^{x}}}+{\frac {9}{e^{2x}}}}}$. נציב $\lim _{x\to \infty }$ נקבל $f(x)={\frac {1+0+0}{1-0+0}}=1$. עבור תחום שלילי: $\lim _{x\to -\infty }$ לפונקציה $f(x)={\frac {e^{2x}+4e^{x}+3}{e^{2x}-6e^{x}+9}}$ נציב $-\lim _{x\to \infty }$ נקבל $f(x)={\frac {0+0+3}{0-0+9}}$ פתרון סופי: $x=ln3$, עבור $1(\lim _{x\to \infty }),{\frac {1}{3}}(\lim _{x\to -\infty })$ סעיף ג נציב $x=0$ בפונקציה $f(x)={\frac {e^{0}+4e^{0}+3}{(e^{0}-3)^{2}}}=2$ ונקבל $(0,2)$ נציב $y=0$ בפונקציה ${\frac {e^{2x}+4e^{x}+3}{(e^{x}-3)^{2}}}=0$ המונה חיובי ולכן ניתן להכפילו, נקבל $e^{2x}+4e^{x}+3=0$ נסמן $e^{x}=t$ נקבל $t^{2}+4t+3=0$ נוציא טינורם ונקבל $(t+1)(t+3)=0$ כלומר $t_{1}=-1\ \ t_{2}=-3$ מכאן $e^{x}=-1$ או $e^{x}=-3$ אך אלו פתרונות בלתי אפשריים מפני שאין חזקה הנותנת מינוס ולכן אין נקודות חיתוך. סעיף ד כדי למצוא תחומי עלייה וירידה עלינו למצוא נקודות קיצון. $y'={\frac {(2e^{2x}+4e^{x}(e^{x}-3)^{2})-2e^{x}(e^{x}-3)(e^{2x}+4e^{x}+3)}{(e^{x}-3)^{4}}}$ נוציא גורם משותף $y'={\frac {(e^{x}-3)[(2e^{2x}+4e^{x}(e^{x}-3))-2e^{x}(e^{2x}+4e^{x}+3)}{(e^{x}-3)^{4}}}$ $y'={\frac {(2e^{3x}-6e^{2x}+4e^{2x}-12e^{x}-2e^{3x}-8e^{2x}-6e^{x}))}{(e^{x}-3)^{3}}}={\frac {-10e^{2x}-18e^{x}}{(e^{x}-3)^{3}}}$ נוציא גורם משותף, $y'={\frac {-(2e^{x}(5e^{x}+9)}{(e^{x}-3)^{3}}}$ שני הביטוים במונה חיובים תמיד ולכן $-2e^{x}(5e^{x}+9)<0$ ולכן סימן הנגזרת תלויה במכנה. המכנה חיובי כאשר $x>ln3$ ולכן המכנה בחזקת שלוש גם הוא חיובי כלומר סימן הנגזרת שלילי ולכן הפונקציה יורדת. המכנה שלילי כאשר $x<ln3$ ולכן המכנה בחזקת שלוש גם הוא שלילי כלומר סימן הנגזרת חיובי ולכן הפונקציה עולה.

סיכום

אסימפטוטה - הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף). מתקבל בעקבות מספר המאפס את המכנה בלבד.

חור - נקודה בה הפונקציה לא עוברת. מתקבל בעקבות קיים מספר המאפס את המכנה אך לאחר הצבה במונה הוא שווה לאפס גם.