שיחה:חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/בר מניה ולא בר מניה

הוספת נושא
אין דיונים בדף הזה.

ההגדרה שמובאת כאן די מקפיצה אותי. מה זה "לסדר בשורה"? אני יודע לסדר בשורה תפוזים, לא מספרים. אם כבר אז כבר - להביא את ההגדרה המקובלת: קיימת התאמה חד חד ערכית ועל בין הקבוצה ובין המספרים הטבעיים. אם את כותבת מבוא ארוך שעוסק בתורת הקבוצות, שני מושגים שממש טריוויאלי שיהיו שם הם פונקציה חד חד ערכית ופונקציה על (מושגים שניתן להשתמש בהם גם בלימודי אינפי). צריך לפרט קצת על החשיבות של ההגדרה הזו: ראשית, קבוצה בת מניה היא קבוצה מהעוצמה האינסופית הקטנה ביותר (או סופית - וכדאי להבהיר שיש כאלו שב"בת מניה" מתכוונים רק לקבוצה אינסופית) ושנית, כל קבוצה בת מניה ניתן להציג בתור סדרה, ולהיפך. גדי אלכסנדרוביץ' 05:18, 29 אוגוסט 2005 (UTC)

כמו שאתה רואה שיניתי קלות. הסתבכתי עם ההגדרה של חד-חד ערכיות, ולכן אני משאירה לך להוסיף אותה. אם כי, לדעתי תספיק ההגדרה שתגיע מאוחר יותר (כלומר במהלך הקורס).
לדעתי, עניין העוצמות דווקא יבלבל, משום שבעיני הוא יחסית קשה לתפיסה. אה, ועוד משהו: לא ידעתי שיש אנשים שמתכוונים רק לקב' אינסופית כשהם אומרים "בת מניה". כל יום לומדים משהו חדש...
גם לדעתי זה יכול לבלבל את מי שבא ללמוד אינפי ומפילים עליו נושא מרכזי מתורת הקבוצות במבוא, ולכן לא ברור לי למה להכניס עוצמות כלשהן לעניין. אמנם נחמד להציג אינטגרל כסכום על מספר לא בן מניה של איברים, אבל חוץ מזה אני לא רואה כרגע סיבה למה תלמיד אינפי צריך לדעת את ההבדל בין קבוצה בת מניה וקבוצה שאינה בת מניה. אבל, אם כבר הכנסת עוצמות לעניין - בואי לא ניתן למי שקורא את זה מושג מוטעה או לא ברור. גדי אלכסנדרוביץ' 12:04, 30 אוגוסט 2005 (UTC)
עכשיו אני קורא את הערך ונראה לי שבלבלת בין ההגדרה של "בן מניה" לבין זו של סדר. על פי ההגדרה הנוכחית שלך אפשר להגיד גם על הממשיים שהם בני מניה, הרי אם מקבלים את אקסיומת הבחירה יש להם סדר טוב ואז לכל מספר ממשי נוכל להגיד מי בא ישר אחריו (ניקח את הקבוצה של כל האיברים שגדולים ממנו - בגלל שהסדר טוב יש בה איבר מינימלי) וכמובן, לא כל קבוצה בת מניה סדורה בסדר שבו ניתן לדבר על עוקב מיידי וקודם מיידי, למשל הרציונליים עם הסדר הרגיל... אני משנה את זה. גדי אלכסנדרוביץ' 12:17, 30 אוגוסט 2005 (UTC)
לכל מספר טבעי קיים איבר שקיבל מספר זה????? קצת מטריד אותי העניין הזה: אצלי לפחות, כל קבוצה סופית היא ברת מניה - שהרי, ניתן למנות את איבריה!!! אני מסכימה להעתקה חח"ע לטבעיים, אבל היא לא צריכה להיות על!!!
עליי להודות, שלא זכור לי שלפי אקסיומת הבחירה אפשר לסדר את הממשיים, אבל זה כנראה החומר בקבוצות שלא יושב אצלי כל כך טוב. ואם תיקח קבוצה שהיא בת מניה, הרי שתוכל להגדיר, באופן שרירותי, עוקב מיידי וקודם מיידי לכל איבר בה (שזה שקול, בעצם, להעתקה חח"ע לטבעיים).רותם 19:25, 30 אוגוסט 2005 (UTC)
אני מסכים שההגדרה של "בת מניה" כקבוצה אינסופית בלבד נשמעת ממש משונה ולא מתאימה לשם שניתן לה. הבעיה היא שזו גם ההגדרה המקובלת יותר, ולכן אנשים צריכים לדעת עליה, כמובן תוך שאנו מציינים שלעתים מכלילים גם את הקבוצות הסופיות בעניין.
די רימיתי בהתלהמות שלי קודם. אפשר לסדר את הממשיים כך שלכל איבר יהיה עוקב מיידי (בעזרת מה שנקרא "עקרון הסדר הטוב" ששקול לאקסיומת הבחירה ולא ממש נוגעים בו לעומק בקורס בתורת הקבוצות שיש בטכניון) אבל זה לא מבטיח שיהיה קודם מיידי. מה שכן, אני עדיין לא בטוח שהיכולת לסדר כך שיש גם עוקב וגם קודם מיידי היא אפיון של "אם ורק אם" (עכשיו אני כן בטוח שזה לא נכון - דוגמה נגדית למטה). ברור שהטבעיים מקיימים אותו, אבל לא ברור אם רק קבוצות בנות מניה מקיימות אותו, וכל עוד לא תביאי לי הוכחה שזה אכן כך, עדיף לא להביא את זה בתור ההגדרה.
בכל אופן, "לתת מספר ייחודי לכל איבר" נראה לי כמו דבר יותר קל להבנה מאשר להתחיל לסדר בשורה ולדבר על איברים ראשונים ואחרונים וכל זה. גדי אלכסנדרוביץ' 19:50, 30 אוגוסט 2005 (UTC)
אוקי, אני פשוט אוסיף את העובדה שיש כאלה שמתייחסים גם לקבוצות סופיות כבנות מניה (אם כי, כאמור, לי זה נראה מובן מאליו).
פולינגר דווקא כן מתעסק הרבה ב"עקרון הסדר הטוב", אבל זה כבר עניין אחר. מה גם, שאם אתה מגדיר קבוצה בת מניה ככזו ששקולה לטבעיים, האם לא נובע מכך שניתן לסדר את איבריה כך שיש קודם מיידי (פרט לאיבר הראשון) ועוקב מיידי? אני לא מצליחה לראות את ההבדל.... בפרט, אם אתה מדבר על איזומורפיזם (שהרי כתבת בהגדרה: חח"ע+על).
לי אישית הרבה יותר קל להבין את הסידור בשורה מאשר את ה"לתת מספר לכל איבר". אני מניחה שזה עניין אינדיבידואלי. מכל מקום, נראה לי שמוטב שיהיו שני סוגי ההסברים, כך גדל הסיכוי שיותר אנשים יבינו - שהרי זו המטרה של הכתיבה כאן! רותם 11:42, 31 אוגוסט 2005 (UTC)
אם קבוצה היא בת מניה ברור שיש סידור שלה שבה לכל איבר יש קודם מיידי ועוקב מיידי. הבעיה היא בכיוון ההפוך: אם יש לנו קבוצה שבה לכל איבר יש קודם מיידי ועוקב מיידי, האם זה אומר שהיא בהכרח בת מנייה? אני טוען שלא, ואפילו אתן דוגמא: תחשבי על הסריג . כל איבר בסריג הזה הוא בעל קוארדינטה שהיא מספר ממשי (הראשונה) וקוארדינטה שהיא מספר שלם (השניה). עבור האיבר אני אגדיר את העוקב המיידי בתור ואת הקודם המיידי בתור והנה, יש לנו קבוצה לא בת מניה שבה לכל איבר יש קודם מיידי ועוקב מיידי. אפשר גם להגדיר עליה סדר לקסיקוגרפי ואז נקבל קבוצה שאבריה סדורים בסדר לינארי (כלומר, אפשר להשוות כל שני איברים), ולכל איבר יש קודם מיידי ועוקב מיידי אבל היא לא בת מניה.
אגב, כבר כתבתי בערך שיש כאלה שמתייחסים לקבוצות סופיות כבנות מניה. גדי אלכסנדרוביץ' 12:21, 31 אוגוסט 2005 (UTC)

כן, יש משהו בדבריך, אם כי קשה לי להאמין שמישהו שרק התחיל ללמוד אינפי יחשוב על כזו דוגמא. אולי כדאי להוסיף שבאמצעות קודם מיידי ועוקב מיידי אפשר להגיע מכל איבר בקבוצה לכל איבר אחר? אני בהתלבטות כאן, כי מצד אחד את המושא הזה אני מעדיפה להסביר במילים פשוטות ולא בהסברים מתמטיים, כדי להקל על הקורא. מצד שני, זה בכל זאת קורס במתמטיקה, ועלינו לדייק בדברינו. מה אתה אומר?
ולגבי הקבוצות הסופיות - כן, ראיתי שכתבת את זה (רק בדיעבד) - לכן לא הוספתי אף מילה בנושא. רותם 13:23, 31 אוגוסט 2005 (UTC)

מה זה משנה אם מי שרק התחיל ללמוד אינפי יחשוב על כזו דוגמה? זו סיבה ללמד דבר שהוא שגוי? אפילו כשלומדים על הוצאות שורש לא אומרים "לא קיים שורש למספר שלילי" אלא "לא קיים שורש ממשי למספר שלילי".
בוודאי שלא כדאי להוסיף שאפשר להגיע לכל איבר בקבוצה. לא בגלל שזה מסבך מאוד את רעיון ה"סידור" (למרות שזה כן) אלא בגלל שכשמראים שמשהו הן בן מניה בדרך הזו יהיה צורך גם להוכיח שבסידור שמציעים כל איבר בקבוצה ניתן להגעה מכל איבר אחר. לא חבל על המאמץ? אני מתערב איתך שכל הוכחה שמשהו הוא בן מניה בשיטה הזו תערב פונקציה חח"ע ועל לטבעיים, רק בצורה מסובכת.
סיכומו של דבר: ההגדרה ה"קלאסית" היא, לטעמי, הפשוטה ביותר, הברורה ביותר והנכונה ביותר לשימוש כאן, והתיאור של ההתאמה בתור סידור ב"סדרה" לדעתי משיג בדיוק את המטרה שאת רוצה, במקום להיכנס לכל מני מבנים של יחסי סדר שמוגדרים על אברי הקבוצה. גדי אלכסנדרוביץ' 13:43, 31 אוגוסט 2005 (UTC)
שיניתי קלות (כמו שאתה רואה). מבחינה מתמטית מה שכתבתי נכון - כתבתי שקבוצה בת-מניה מקיימת תכונה זו, אבל לא כתבתי שרק קב' בת מניה מקיימת תכונה זו. ומבחינה מחשבתית - כמו שאמרתי, אנשים שונים מבינים דברים בצורה שונה: לך נוח לחשוב על ההתאמה לסידרה. כשאני חושבת על קבוצה בת-מניה, אני רואה בעיני רוחי איברים מסודרים בשורה - כן, בשורה, ממש כמו שורת תפוזים... לכן לדעתי כדאי להשאיר את שתי ההגדרות (או אם תרצה - את ההגדרה וההסבר), וכל אחד יעזר במה שיותר נוח לו ובמה שקל לו יותר להבין.רותם 15:32, 31 אוגוסט 2005 (UTC)
חזרה לדף "חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/בר מניה ולא בר מניה".