חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/בר מניה ולא בר מניה

חשבון אינפיניטסימלי

הגדרה

בר-מניה: קבוצה תקרא בת-מניה אם ניתן למספר את אבריה באמצעות המספרים הטבעיים. כלומר, לכל איבר בקבוצה נתאים מספר טבעי כך שאין שני אברים עם אותו מספר, ולכל מספר טבעי קיים אבר שקיבל מספר זה. נשים לב כי על-פי הגדרה זו קבוצות סופיות אינן יכולות להיות בנות-מניה, כי יש אינסוף מספרים טבעיים ולכן תמיד יהיה מספר שלא ניתן לאף אחד מאברי הקבוצה. לפעמים מרחיבים את ההגדרה ואומרים כי קבוצה בת-מניה היא קבוצה סופית או כזו שניתן למספר את אבריה בצורה שתוארה לעיל.

בלשון פורמלית יותר של תורת הקבוצות, קבוצה היא בת-מניה אם קיימת פונקציה חד-חד-ערכית ועל מקבוצת המספרים הטבעיים אליה.

הדרך הנוחה ביותר להדגים התאמה בין קבוצה למספרים הטבעיים היא על-ידי סידור אברי הקבוצה בסדרה. במקרה הזה האבר הראשון בסדרה מותאם למספר 1, השני למספר 2 וכן הלאה.

ניתן לחשוב על קבוצה בת-מניה באופן הבא: ניתן לסדרה בצורה כזו כך שאם ניקח אבר בקבוצה, אז קיים בקבוצה אבר מסוים שהוא האבר הבא אחריו, וקיים בקבוצה אבר מסוים שהוא האבר הקודם לו. אם לא קיים אחד מאלה, הרי שאפשר להגיד על אבר מסוים זה שהוא ה"אחרון" בקבוצה או ה"ראשון" בה. עם זאת, יש לשים לב כי קיימות גם קבוצות שאינן בנות-מניה וניתן לסדרן בצורה כזו, ולכן הדגמה של סידור שכזה אינה מוכיחה שקבוצה היא בת-מניה.

דוגמאות

1. $\mathbb {N}$ הנה קבוצה בת-מניה. דוגמא לסידור אפשרי: $1,2,3,4,5,\cdots$ .
2. $\mathbb {Z}$ הנה קבוצה בת-מניה. דוגמא לסידור אפשרי: $0,1,-1,2,-2,\dots$ . כאן התאמנו למקום מספר $n$ בסדרה את המספר השלם $(-1)^{n}\cdot \left({\frac {n}{2}}\right)$
3. אם $A$ ו- $B$ הן קבוצות בנות-מניה, אז גם $A\cup B$ הנה בת-מניה. נדגים זאת: אברי $A$ מסודרים בסדרה $a_{1},a_{2},a_{3},\dots$ ואברי $B$ בסדרה $b_{1},b_{2},b_{3},\dots$ ולכן עבור $A\cup B$ נבנה את הסדרה $a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\dots$ . כלומר, למקומות האי-זוגיים בסדרה החדשה התאמנו את אברי $A$ ולמקומות הזוגיים את אברי $B$ .

טענות (ללא הוכחה)

1. $\mathbb {Q}$ הנה קבוצה בת-מניה.

מדוע אנו זקוקים להוכחה עבור טענה זו? - משום שלא נתנו אף דוגמא להתאמה של קבוצה זו למספרים הטבעיים.

2. $\mathbb {R}$ אינה קבוצה בת-מניה.

מדוע אנו זקוקים להוכחה עבור טענה זו? - משום שלא הוכחנו שלא קיימת שום התאמה של קבוצה זו למספרים הטבעיים.

מי שמעונין בהוכחות לטענות אלה מוזמן להסתכל בנספח למבוא.