תורת הבקרה/התמרת לפלס

כללית, התמרת לפלס היא התמרה אינטגרלית לינארית אשר הופכת נגזרת למכפלה ואינטגרציה לחלוקה, וכל התמרה היא מצורה של מנת פולינומים מוכללים‏[1].

כאשר מבצעים התמרת לפלס על מישור הזמן (במשתנה ) עוברים למה שנקרא "מישור התדר" (במשתנה ) אשר נקרא גם "מישור לפלס". נהוג לכתוב פונקציות במישור הזמן באות קטנה ופונקציות במישור התדר באות גדולה.

שימוש בתורת הבקרהעריכה

כל משוואות התנועה, בהתאם לחוק השני של ניוטון   , הן למעשה משוואת דיפרנציאליות המקשרות בין מיקום, מהירות ותאוצה. בעזרת התמרת לפלס ניתן להתמיר משוואה דיפרנציאליות למשואה אלגברית (פולינומים). אופיה של ההתמרה, הפיכת נגזרת למכפלה, מקלה על ההסתכלות במערכות כאלו.

עם זאת, בפרק משתני מצב, נבצע אנליזה דוקא במישור הזמן. שם נפרק משוואה דיפרנציאלית מסדר גבוה למערכת משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון. מפירוק זה מתקבלות מטריצות של מקדמים אשר לפיהן ניתן לקבוע יציבות, בקירות וצפיות, ללא צורך בהתמרות כלשהן.

הגדרהעריכה

 

דוגמאותעריכה

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.



מטלאבעריכה

syms a t
laplace(exp(a*t))


מייפלעריכה

y:=exp(a*t)
laplace(y(t),t,s)


התמרת לפלס הפוכהעריכה

 

כאשר   ו-  הוא הסדר המעריכי של   .

דוגמאותעריכה

(להשלים)

מטלאבעריכה

syms a s
ilaplace(1/(s+a))


מייפלעריכה

Y:=1/(s+a)
invlaplace(Y(s),s,t)


שיטות למציאת התמרת לפלס הפוכהעריכה

חישוב ההתמרה הפוכה בדרך ישירה הינה מייגעת ולכן ניעזר במספר שיטות. תמיד נרצה להביא את הפונקציה למצב מוכר עבורו ניתן למצוא ישירות את ההתמרה ההפוכה באמצעות טבלאות (ראו בויקיפדיה).

קטבים בודדיםעריכה

כאשר F היא מנת פולינומים מצומצמים עם קטבים בודדים (ממשיים או מרוכבים), נפרק את F לשברים חלקיים:

 

כאשר   הם הקטבים והשאריות, בהתאמה. מתקבל:

 

כאשר u היא פונקצית מדרגה. מתכונות הפונקציות המרוכבות ניתן להראות:

 
זכרו כי נוסחה זו נכונה לקטבים בודדים בלבד!

קטבים מרוכבים צמודיםעריכה

במקרה זה, יופיע עבור כל זוג קטבים כאלה ביטוי מהצורה:

 

כאשר Fk הוא פרקציה של הפונקציה F. נניח כי:

 

אז מתקבל:

 

כאשר השיוויון האחרון נובע מתכונות המספרים המרוכבים.

קוטב מסדר nעריכה

במקרה זה, מפרקים לשברים חלקיים:

 

כאשר Fk הוא פרקציה של הפונקציה F, ו-Bk היא פרקציה של הפונקציה B.

מכאן מבצעים את התמרת לפלס הפוכה באמצעות טבלאות.

מטלאבעריכה

פתרון בMATLAB מתבצע באמצעות הפונקציה residue אשר יש להעביר לה את וקטור המקדמים של המונה ושל המכנה, והיא מחזירה שלושה וקטורים: השאריות, הקטביים והשלם במנת הפולינומים (אשר יהיה אפס כאשר מעלת המונה קטנה ממעלת המכנה).

B=[2 3]; A=[1 3 1];
[r,p,k]=residue(B,A)

 


מייפלעריכה

פירוק לשברים חלקיים:

convert(1/(s^3(s+1)(s+2)),parfrac,s);


משפט הערך ההתחלתיעריכה

אם קיימת התמרת לפלס של הפונקציות   אז מתקיים:

 

משפט זה נוח במיוחד כאשר מעוניינים בערך התחילי של הפונקציה במישור הזמן, כי אינו מחייב חישוב התמרת הלפלס ההפוכה של F.

משפט הערך הסופיעריכה

אם קיימת התמרת לפלס של הפונקציות   וכל הקטבים של F נמצאים בחצי המישור השמאלי, ולכל היותר ישנו קוטב בודד בראשית, אז מתקיים:

 

משפט זה שימושי כאשר מעוניינים בהתנהגות המערכת לאחר ריסון תנאי ההתחלה.

קישורים חיצונייםעריכה

הערותעריכה

  1. ^ מנת פולינומים מוכללים, כלומר תיתכן חזקה שאינה מספר טבעי.