פונקציה רציפה בנקודה אם היא קיים לה גבול בנקודה, והיא מוגדרת וערכה שווה לערך הגבול. כלומר:
-
- משפט (סכום והפרש של פונקציות רציפות)
אם רציפות בנקודה , אזי רציפה בנקודה .
- הוכחה
כיון ששני גבולות אלו קיימים וסופיים, ניתן להשתמש בגבול של סכום והפרש ונקבל:
-
- משפט (מכפלת פונקציות רציפות)
אם רציפות בנקודה , אזי רציפה בנקודה .
- הוכחה
כיון ששני גבולות אלו קיימים וסופיים, ניתן להשתמש בגבול של מכפלה ונקבל:
-
- משפט (מנת פונקציות רציפות)
אם רציפות בנקודה ו־ , אזי רציפה בנקודה .
- הוכחה
כיון ששני גבולות אלו קיימים וסופיים ו־ , ניתן להשתמש בגבול של מנה ונקבל:
-
- משפט (הרכבה של פונקציות רציפות)
אם ו־ רציפה ב־ (כלומר ), אזי .
- הוכחה בלשון
יהי . נתון כי רציפה בנקודה , לכן קיים כך שלכל מתקיים (1).
כמו־כן, נתון ולכן קיים כך שלכל המקיים מתקיים (2).
מ־(2) נסיק כי לכל המקיים מתקיים ולכן עבור נקבל מ־(1) כי כדרוש.
- הוכחה בלשון סדרות
בכדי להראות כי רציפה ב־ , מספיק להוכיח שלכל סדרה המקיימת אזי .
תהי סדרה המקיימת . על־פי הנתון . מאחר ו־ רציפה ב־ , מתקיים . לכן רציפה ב־ .