הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/רציפות/אריתמטיקה והרכבה של פונקציות רציפות

הגדרת רציפות

עריכה

פונקציה   רציפה בנקודה   אם היא קיים לה גבול בנקודה, והיא מוגדרת וערכה שווה לערך הגבול. כלומר:

 
משפט (סכום והפרש של פונקציות רציפות)

אם   רציפות בנקודה   , אזי   רציפה בנקודה   .

הוכחה

כיון ששני גבולות אלו קיימים וסופיים, ניתן להשתמש בגבול של סכום והפרש ונקבל:

 

 

משפט (מכפלת פונקציות רציפות)

אם   רציפות בנקודה   , אזי   רציפה בנקודה   .

הוכחה

כיון ששני גבולות אלו קיימים וסופיים, ניתן להשתמש בגבול של מכפלה ונקבל:

 

 

משפט (מנת פונקציות רציפות)

אם   רציפות בנקודה   ו־  , אזי   רציפה בנקודה   .

הוכחה

כיון ששני גבולות אלו קיימים וסופיים ו־  , ניתן להשתמש בגבול של מנה ונקבל:

 

 

משפט (הרכבה של פונקציות רציפות)

אם   ו־  רציפה ב־  (כלומר  ), אזי   .

הוכחה בלשון  

יהי   . נתון כי   רציפה בנקודה   , לכן קיים   כך שלכל  מתקיים   ‏(1).

כמו־כן, נתון   ולכן קיים   כך שלכל   המקיים   מתקיים   ‏(2).

מ־(2) נסיק כי לכל   המקיים   מתקיים   ולכן עבור   נקבל מ־(1) כי   כדרוש.

 

הוכחה בלשון סדרות

בכדי להראות כי   רציפה ב־  , מספיק להוכיח שלכל סדרה   המקיימת   אזי   .

תהי   סדרה המקיימת   . על־פי הנתון   . מאחר ו־  רציפה ב־  , מתקיים   . לכן   רציפה ב־  .