- משפט
תהי רציפה בקטע הסגור , גזירה בקטע הפתוח , גזירה מימין ב־ וגזירה משמאל ב־ .
יהי עבורו או .
אזי קיים עבורו .
במילים אחרות: תחת תנאי המשפט, מקיימת את משפט ערך הביניים, מבלי שכלל תצטרך להיות רציפה בקטע.
- הוכחה
נניח ללא הגבלת הכלליות כי .
נגדיר פונקציה . זו גזירה בקטע הפתוח ובעלת נגזרות חד־צדדיות בקצות הקטע כהפרש פונקציות גזירות בקטע וחד־צדדית בקצותיו.
נגזרתה היא והיא מקיימת כי:
רציפה בקטע הסגור כהפרש פונקציות רציפות. לפיכך, על־פי המשפט השני של ויירשטראס היא מקבלת מינימום בקטע זה.
- מינימום זה לא יכול להתקבל בנקודה כי ולכן יורדת מקומית שם.
- מינימום זה לא יכול להתקבל בנקודה כי ולכן עולה מקומית שם.
לפיכך, המינימום חייב להתקבל בנקודה .
ממשפט פרמה נובע כי . לכן .