- משפט
תהי
רציפה בקטע הסגור
, גזירה בקטע הפתוח
, גזירה מימין ב־
וגזירה משמאל ב־
.
יהי
עבורו
או
.
אזי קיים
עבורו
.
במילים אחרות: תחת תנאי המשפט,
מקיימת את משפט ערך הביניים, מבלי שכלל תצטרך להיות רציפה בקטע.
- הוכחה
נניח ללא הגבלת הכלליות כי
.
נגדיר פונקציה
. זו גזירה בקטע הפתוח
ובעלת נגזרות חד־צדדיות בקצות הקטע כהפרש פונקציות גזירות בקטע וחד־צדדית בקצותיו.
נגזרתה היא
והיא מקיימת
כי:

רציפה בקטע הסגור
כהפרש פונקציות רציפות. לפיכך, על־פי המשפט השני של ויירשטראס היא מקבלת מינימום בקטע זה.
- מינימום זה לא יכול להתקבל בנקודה
כי
ולכן
יורדת מקומית שם.
- מינימום זה לא יכול להתקבל בנקודה
כי
ולכן
עולה מקומית שם.
לפיכך, המינימום חייב להתקבל בנקודה
.
ממשפט פרמה נובע כי
. לכן
.