- משפט
תהי
רציפה בקטע הסגור
, גזירה בקטע הפתוח
, גזירה מימין ב־
וגזירה משמאל ב־
.
יהי
עבורו
או
.
אזי קיים
עבורו
.
במילים אחרות: תחת תנאי המשפט,
מקיימת את משפט ערך הביניים, מבלי שכלל תצטרך להיות רציפה בקטע.
- הוכחה
נניח ללא הגבלת הכלליות כי
.
נגדיר פונקציה
. זו גזירה בקטע הפתוח
ובעלת נגזרות חד־צדדיות בקצות הקטע כהפרש פונקציות גזירות בקטע וחד־צדדית בקצותיו.
נגזרתה היא
והיא מקיימת
כי:
![{\displaystyle {\begin{matrix}g'(a^{+})=f'(a^{+})-y<0\\g'(b^{-})=f'(b^{-})-y>0\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6389377b2b086c9efddb0cdcc3b49b62d45903df)
רציפה בקטע הסגור
כהפרש פונקציות רציפות. לפיכך, על־פי המשפט השני של ויירשטראס היא מקבלת מינימום בקטע זה.
- מינימום זה לא יכול להתקבל בנקודה
כי
ולכן
יורדת מקומית שם.
- מינימום זה לא יכול להתקבל בנקודה
כי
ולכן
עולה מקומית שם.
לפיכך, המינימום חייב להתקבל בנקודה
.
ממשפט פרמה נובע כי
. לכן
.