הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/משפט דארבו

משפט

תהי רציפה בקטע הסגור , גזירה בקטע הפתוח , גזירה מימין ב־ וגזירה משמאל ב־ .

יהי עבורו או .

אזי קיים עבורו .


במילים אחרות: תחת תנאי המשפט, מקיימת את משפט ערך הביניים, מבלי שכלל תצטרך להיות רציפה בקטע.

הוכחה

נניח ללא הגבלת הכלליות כי .

נגדיר פונקציה . זו גזירה בקטע הפתוח ובעלת נגזרות חד־צדדיות בקצות הקטע כהפרש פונקציות גזירות בקטע וחד־צדדית בקצותיו.

נגזרתה היא והיא מקיימת כי:

רציפה בקטע הסגור כהפרש פונקציות רציפות. לפיכך, על־פי המשפט השני של ויירשטראס היא מקבלת מינימום בקטע זה.

  • מינימום זה לא יכול להתקבל בנקודה כי ולכן יורדת מקומית שם.
  • מינימום זה לא יכול להתקבל בנקודה כי ולכן עולה מקומית שם.

לפיכך, המינימום חייב להתקבל בנקודה .

ממשפט פרמה נובע כי . לכן .