הוכחות מתמטיות/שונות/π מספר טרנסצנדנטי/המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים

יהי שדה, ויהי פולינום סימטרי.
אזי ניתן להציגו באופן יחיד כפולינום , כאשר:

  • מעלת אינה עולה על מעלת .
  • אם בעל מקדמים שלמים אזי גם בעל מקדמים שלמים.

הוכחה

עריכה

ראשית, נתאר אלגוריתם למציאת הפולינום המבוקש .

נגדיר תנאי התחלה וכן .

  1. מצאו את כאשר .
  2. הגדירו .
  3. הציבו .
  4. אם , שובו לסעיף 1 והתחילו את התהליך מחדש באינדקס .
    אם , עברו לסעיף 5.
  5. הציבו .


להוכחת האלגוריתם אנו זקוקים לשתי למות.

למה 1: המונום המוביל ב־ מקיים .

הוכחה: נניח בשלילה כי קיים אינדקס עבורו . קיימת תמורה כלשהיא עבורה

אך הפולינום מכיל את המונום , שסדרו גדול מזה של .
סתירה.

למה 2: המונום המוביל בפיתוחו של הפולינום הוא .

הוכחה: מתקיים כי

השוויון האחרון מתקיים אם ורק אם

עתה ניגש להוכחת המשפט:

1. יהי פולינום סימטרי במשתנים .
ההוכחה באינדוקציה שלמה על (ראו הגדרה).

אם אזי פולינום קבוע, וקל להראות כי האלגוריתם מתקיים עבורו.

נניח כי האלגוריתם מתקיים לכל הפולינומים הסימטריים בעלי , עבור כלשהוא.
נראה כי האלגוריתם מתקיים גם עבור פולינום סימטרי בעל , כאשר .

על־פי למה 2, מתקיים כי:

הפונקציה היא פולינום, שכן .
בנוסף, על־פי תכונות הפולינומים הסימטריים פולינום סימטרי במשתנים , ולכן גם פולינום סימטרי.
הפולינומים מכילים שניהם את , ולכן הוא מתקזז בהפרשם.

אם אזי .
אם אזי , כלומר .
הנחת האינדוקציה מתקיימת עבור , ועל כן האלגוריתם מניב פולינום עבורו

2. תכונות המשפט מתקיימות:

  • על־פי ההגדרה, מעלת היא ומעלת היא לפחות .
  • אם בעל מקדמים שלמים אזי הנ"ל מספר שלם. לכן גם בעל מקדמים שלמים.

תוצאות חשובות

עריכה

משפט. יהי   שדה, ויהי   פולינום ממעלה   בעל השורשים  .
יהי   פולינום סימטרי. אזי  .

הוכחה. על־פי נוסחאות ויאטה מתקיים כי:

 

על־פי המשפט היסודי,   ניתן להצגה כפולינום

 

 

משפט. יהי   שדה, ויהי   פולינום ממעלה   בעל השורשים  .
יהי   כלשהוא, ויהיו   סכומי כל   מבין השורשים   (כלומר  ).
אזי קיים פולינום מתוקן   ממעלה   בעל השורשים  .

הוכחה. עלינו להראות כי מתקיים

 

על־פי נוסחאות ויאטה, מקדמי הפולינום כולם פולינומים סימטריים לפי  .

יהי   פולינום סימטרי, ויהיו   סכומי כל   מבין המשתנים  .
אזי   ניתן להצגה כפולינום

 

קל לראות כי בהפעלת תמורה על   מתקיימת גם תמורה על  .
לכן   פולינום סימטרי, ועל־פי המשפט הקודם מתקיים כי

 

 


הפרק הקודם:
פולינומים סימטריים אלמנטריים
המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים
תרגילים
הפרק הבא:
הוכחה