חשבון/חילוק ארוך

חילוק ארוך הוא טכניקה אלגברית, שמאפשרת לבצע חילוק, ולמצוא את המנה (תוצאת החילוק) והשארית (בחילוק מספרים שלמים). היא שימושית במיוחד כשהמנה היא בת יותר מספרה אחת.

השיטה

צורת הסימון: משמאל כותבים את המחולק, מימין את המחלק. מסמנים כעין ר (צורתהּ של האות רי״ש) מעל המספר השמאלי ובין המספרים. תהליך הפתרון נרשם מתחת, והפתרון הסופי יהיה מעל הקו. לדוגמה:

$3745\,\!$
$18725\,\!$	$5\,\!$

מתחילים בבדיקה כמה פעמים שלמות נכנס המחלק בספרה השמאלית (במילים אחרות, מהי תוצאת החילוק בהתעלם מהשארית). אם הוא לא נכנס (כלומר, התוצאה היא 0), עוברים ספרה אחת ימינה (ובודקים את כל המספר שמשמאלה), וכן הלאה. כשהמחלק נכנס בספרה זו, כותבים את מספר הפעמים שבהן הוא נכנס למספר הזה מעל הספרה האחרונה שלו. כעת מכפילים את התוצאה במחלק, וכותבים את התוצאה כך שהספרה האחרונה שלה תהיה מתחת לספרה האחרונה של המספר הזה; וכעת מחסרים (באמצעות חיסור במאונך) את התוצאה מהמספר הזה, וכותבים את התוצאה (שהיא בעצם שארית החלוקה שביצענו).

כעת מורידים את הספרה הבאה (אם קיימת) כך שתהיה לצד שארית החלוקה שכתבנו, ומחלקים את המספר הזה במחלק באופן דומה: ראשית, אם המחלק גדול ממספר זה, כותבים 0 מעל הספרה שהורדנו, ומורידים את הספרה הבאה. שנית, כותבים את מספר הפעמים (השלמות) שבהן הוא נכנס למספר זה, כותבים מתחתיו את מכפלת התוצאה במחלק, ומחסרים אותה מהמספר. כעת מורידים את הספרה הבאה וממשיכים בחלוקה, שמסתיימת רק כאשר אין עוד מספרים להוריד. בשלב זה, המספר שכתוב למטה הוא שארית החלוקה.

לדוגמה, נניח שאנחנו רוצים לחשב את $\ {\frac {8064}{7}}$. נתחיל בכתיבת התרגיל בצורה הבאה:

$8064\,\!$

$7\,\!$

ניקח עכשיו את 8, הספרה הראשונה משמאל במחולק (המספר משמאל). כמה פעמים שלמות נכנס 7 ב-8? התשובה היא 1. לכן נכתוב 1 מעל הקו, נכפיל את המחלק ב-1 ($\ 7\times 1=7$) ונרשום את התוצאה 7 מתחת ל-8:

$1\,\!$
$8064\,\!$	$7\,\!$
$7\,\!$

עכשיו נחסר את ה-7 מה-8 ונקבל 1:

	$1\,\!$
	$8064\,\!$		$7\,\!$
$7\,\!$
	$1\,\!$

עכשיו נוריד את הסיפרה הבאה אפס ישר למטה שתהיה מימין לאחד.

${\begin{matrix}1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\{\underline {\ }}{\overline {8064}}{\big \rceil }7&\ \\{\underline {\ 7}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\ 10\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\end{matrix}}$

עכשיו נחשב: כמה פעמים שלמות נכנס 7 ב-10? 1. שוב נכתוב 1 למעלה, נכפיל $\ 7\times 1$ ונכתוב את התוצאה למטה מתחת ל-10.

${\begin{matrix}\ &\,\,\;11\quad \quad \ \\\ &{\underline {\ }}{\overline {8064}}{\big \rceil }7&\ \\\ &{\underline {\ 7}}\quad \quad \ \\\ &\;\;10\quad \quad \ \\\ &\ \;\;7\quad \quad \ \end{matrix}}$

נחסר את ה-7 מה-10 ונקבל 3:

${\begin{matrix}\ &\,\,\;11\quad \quad \ \\\ &{\underline {\ }}{\overline {8064}}{\big \rceil }7&\ \\\ &{\underline {\ 7}}\quad \quad \ \\\ &{\underline {\ }}\ 10\quad \quad \ \\\ &\ \;{\underline {\;7}}\quad \quad \ \\\ &3\;\quad \end{matrix}}$

מאחר ש-3 קטן מ-7, נוריד את ה-6, שיהיה מימין ל-3. מתקבל 36. כמה פעמים שלמות נכנס 7 ב-36? 5. לכן נכתוב 5 למעלה.

${\begin{matrix}\ &\,\,\ \ 115\quad \quad \ \\\ &{\underline {\ }}{\overline {8064}}{\big \rceil }7&\ \\\ &{\underline {\ 7}}\quad \quad \ \\\ &{\underline {\ }}\ 10\quad \quad \ \\\ &\ \;{\underline {\;7}}\quad \quad \ \\\ &\ \ \,\,36\quad \quad \end{matrix}}$

נכפיל $\ 7\times 5$ ונכתוב את התוצאה מתחת ל-36 (יוצא 35). נחשב $\ 36-35$ ונכתוב 1.

${\begin{matrix}115\,\,\,\,\,\,\,\\{\underline {\ }}{\overline {8064}}{\big \rceil }7&\ \\{\underline {\ 7}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\{\underline {\ }}10\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\{\underline {\,\,\,\,\,7}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\{\underline {\ }}36\quad \\{\underline {\ 35}}\quad \\1\end{matrix}}$

מאחר ש-1 קטן מ-7, נוריד את הארבע שיהיה ליד האחד וקיבלנו 14. כמה פעמים שלמות נכנס 7 ב-14? 2. נכתוב 2 למעלה.

${\begin{matrix}1152\,\,\,\,\\{\underline {\ }}{\overline {8064}}{\big \rceil }7&\ \\{\underline {\ 7}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\{\underline {\ }}10\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\{\underline {\,\,\,\,\,7}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\{\underline {\ }}36\quad \\{\underline {\ 35}}\quad \\\,\ 14\end{matrix}}$

נכפיל $\ 7\times 2$ ונקבל 14. נפחית $\ 14-14$ וקיבלנו אפס. קיבלנו אפס ואין לנו עוד ספרות להוריד סימן שסיימנו.

${\begin{matrix}1152\,\,\,\,\\{\underline {\ }}{\overline {8064}}{\big \rceil }7&\ \\{\underline {\ 7}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\{\underline {\ }}10\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\{\underline {\,\,\,\,\,7}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\{\underline {\ }}36\quad \\{\underline {\ 35}}\quad \\\,{\underline {\ }}14\\\,{\underline {\ 14}}\\\,\,\,\,\,\,0\end{matrix}}$

אם מתקבלת תוצאה שונה מאפס ואין עוד ספרות להוריד, זוהי השארית של החילוק. חלופית, ניתן להמשיך את חילוק השארית ולעבור לשברים (עדיין מסדר 10 - עשיריות, מאיות, אלפיות...)

הפרק הקודם: חילוק

חילוק ארוך

הפרק הבא: סדר פעולות החשבון