מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/הטרינום

פירוק טרינום ריבועי לגורמים

טרינום ריבועי הינו רב-אבר מהצורה: $ax^{2}+bx+c$ כאשר $a\neq 0$ .

במהלך פעולת הפירוק אנו מחפשים שני בינומים (דו-אברים, או פולינומים שבהם שני אברים בלבד), $ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})$, אשר מכפלתם מביאה לטרינום הנתון.

• גורמי הטרינום: $(x-x_{1})$ ו- $(x-x_{2})$
• שורשי הטרינום: $x_{1}$ ו- $x_{2}$

דוגמה 1: הטרינום עבור $x^{2}-3x-10$ $(x+2)(x-5)$

$a=1$

ראשית נשם לב כי הנעלם $a$ במשוואה $x^{2}-3x-10$ נמצאים במעלה ראשונה. במידה והאיבר $a$ אינו שווה לאחד, נוציא אותו כגורם משותף (ר' הדגמה בסעיף הבא) ומשם נמשיך לבצע את יתר השלבים אותם נדגים עתה.

כאשר אנו רוצים לפרק לגורמים של תלת איברי ריבועי עלינו למצוא זוג של מספרים שהמכפלה שלהם שווה לאיבר $c$, האבר החופשי, וחיבור שלהם שווה לאיבר $b$.

דוגמה 2: הטרינום $(x+2)(x-5)$ נפתח את תלת איברים הריבועים $(x+2)(x-5)$ ונקבל $x^{2}-5x+2x-10$ ולאחר צמצום $x^{2}-3x-10$ מכפלת האיברים $(2)$ ו-$(-5)$ שווה $c$: $-10=(-5)\cdot 2$ חיבור האיברים $2$ ו-$5$ שווה $b$: $(-3)=(-5)+2$

השלבים למציאת טרינום

• נרשום את כל המכפלות של שני מספרים השווים $c$ (במקרה שלנו $-10$).

$\beta$	$\alpha$
$10$	$-1$
$-10$	$1$
$5$	$-2$
$-5$	$2$

• נחפש ברשימה זוג איברים אשר סכומם הוא שווה למקדם $b$. במקרה שלנו $-3$ .

דוגמה

נפרק את תלת איבר הריבועי : $x^{2}-20x+99$

• נרשום את כל המכפלות של שני מספרים השווים $c$

$\alpha$	$\beta$	$\alpha +\beta$
$1$	$99$	$100$
$-1$	$-99$	$-100$
$3$	$33$	$36$
$-3$	$-33$	$-36$
$9$	$11$	$20$
$-9$	$-11$	$-20$

• נחפש ברשימה זוג איברים אשר סכומם הוא שווה למקדם $b$. במקרה שלנו הזוג $-11$ ו-$-9$.

• לפיכך $x^{2}-20x+99=(x-9)(x-11)$

$a\neq 1$

במצב בו המקדם $a\neq 1$ כמו למשל תלת האיבר הריבועי $3x^{2}+9x+6$ עלינו להוציא את הגורם $a$ דהינו לבצע $a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}\right)$ בכדי שהמקדם לנעלם ממעלה ראשונה יהיה אחד. עתה נקבל $3(x^{2}+3x+2)$ ונחפש עבור האיברים בסוגרים טרינום שהינו $3(x+1)(x+2)$

• הגורמים שלו הם: $3$ , $(x+1)$ ו- $(x+2)$ .
• שורשי הטרינום הם $-2$ ו- $-1$ .

דוגמא למקרה בו $a\neq 1$

בכדי לפרק לגורמים את הטרינום $7x^{2}-7x-42$ , תחילה, עלינו להוציא את $a$ , המקדם של $x^{2}$ , מחוץ לסוגריים:

$7x^{2}-7x-42=7\left({\frac {\not 7x^{2}}{\not 7}}-{\frac {\not 7x}{\not 7}}-{\frac {42}{7}}\right)=7(x^{2}-x-6)$

כעת נפרק את הטרינום שבתוך הסוגריים בעזרת השיטה שלמדנו; אנו מחפשים זוג מספרים שמכפלתם היא $-6$ וסכומם הוא $-1$ .

$\alpha$	$\beta$	$\alpha +\beta$
$1$	$-6$	$-5$
$-1$	$6$	$5$
$2$	$-3$	$-1$
$-2$	$3$	$1$

הזוג הוא $2$ ו- $-3$ . הטרינום שבסוגריים $x^{2}-x-6$ מתפרק ל- $(x+2)(x-3)$ .

$x^{2}-x-6=(x+2)(x-3)\ \Rightarrow \ 7(x^{2}-x-6)=7(x+2)(x-3)$

נוסחת ויטא

במידה ולא נמצא טרינום עבור ניתן לבצע פירוק באמצעות נוסחאות וייטה.

הפרק הקודם: רבי-אבר

הטרינום תרגילים

הפרק הבא: דוגמאות ושימושים נוספים