מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/משפטים בגאומטריה/משולשים/זוית חיצונית למשולש

נתון: המשולש $\triangle ABC$

זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזויות הפנימיות שאינן צמודות לה

צ"ל: זוית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזויות הפנימיות שאינן צמודות לה

הוכחה

מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/משפטים בגאומטריה/משולשים/סכום זויות במשולש הוא 180 מעלות ולכן $\measuredangle b=180^{\circ }-\measuredangle a-\measuredangle c$ .

סכום זויות סמוכות שווה $180^{\circ }$ , מכאן $180^{\circ }-\measuredangle b=\measuredangle d$

נציב $\measuredangle b=180^{\circ }-\measuredangle a-\measuredangle c$ ונקבל

${\begin{aligned}&180^{\circ }-(180^{\circ }-\measuredangle a-\measuredangle c)=\measuredangle d\\&180^{\circ }-180^{\circ }+\measuredangle a+\measuredangle c=\measuredangle d\\&\measuredangle a+\measuredangle c=\measuredangle d\\\end{aligned}}$