מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/ישר/משוואת הקו הישר


שגיאות פרמטריות בתבנית:מבנה תבנית עבודה

פרמטרים ריקים [ 1 ] לא מופיעים בהגדרת התבנית


נוסחאות

משוואת הישר:

נוסחה משוואת הקו הישר:

נוסחת השיפוע ():

הישרעריכה

ישר הוא קו העובר דרך שתי נקודות.

ההבחנה בין פונקציה ישרה לישר: קו ישר יכול להיות פונקציה ישרה כאשר הוא עונה על תנאי הפונקציה. לא כל ישר הוא פונקציה ישרה, אבל כל פונקציה ישרה היא ישר. למשל   הוא ישר העובר דרך הנקודות   וכן הלאה אך אינו ממלא את תנאי הפונקציה.

בנית ישר באמצעות הצבת ערכיםעריכה

כאשר נתונה משוואת ישר, ניתן להציב נקודות על הישר ולצייר אותו.

משוואת הישרעריכה

  (לעיתים מסמנים  במקום   ו-  במקום  ). כאשר   ו-   הם מספרים (מקדמים) ידועים.

כל אחד מהמקדמים הידועים משפיע באופן אחר על גרף הפונקציה:  

נקודת החיתוך עם ציר ה-y - האיבר החופשיעריכה

ניתן לראות בפשטות כי האיבר n אינו תלוי בערכו של x, והוא ישאר קבוע, על כן הוא נקרא "האיבר החופשי". לאיבר זה תכונה מיוחדת אחת - כאשר נציב 0 במקום x בתבנית הפונקציה (דבר המסמל בעצם את נקודת החיתוך עם ציר הy), נקבל  . כלומר, נקודת החיתוך עם ציר הy שווה לn.

n בעצם, לא משפיע על הצורה של הגרף (הזווית שלה), כי כפי שראינו, השיפוע הוא מה שמשפיע. אז מה n כן עושה ? פשוט מאוד - "מרים" (ומוריד במקרה והוא שלילי) את הישר למעלה ולמטה על ציר הy.


שיפועעריכה

  • ראה הרחבה מצב הדדי בין פונקציות
    • אם נתון ישר מקביל, יש להם אותו שיפוע, ואם נתון ישר מאונך, אז השיפועים מקיימים:  
    • אם נתונה הזווית   עם ציר ה-x, מתקיים:  

פתרון בעיותעריכה

מציאת ישר באמצעות שתי נקודותעריכה

בהתאם להגדרת הישר, ניתן לבנות ישר באמצעות שתי נקודות.

  • נמצא את השיפוע של הישר באמצעות נוסחת השיפוע:  
  • הצבת השיפוע ונקודה ב 

=מציאת ישר באמצעות נקודה ושיפעעריכה

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.



מציאת n בהינתן נקודה ושיפועעריכה

במידה וידוע לנו שיפוע   של פונקציית־ישר כלשהי, ובנוסף אנחנו יודעים שנקודה מסויימת שתסומן   נמצאת על הישר (כלומר, ערכי הנקודה מקיימים את פונקציית הישר), אזי קל מאוד למצוא את n.

אז איך עושים זאת? מאחר וערך השיפוע   ידוע, וכן ערכי   ו־  ידועים, פשוט נציב את כל הידוע לנו במשוואת הישר  :

  •  
  • נפתור את המשוואה:  .

זהו, מצאנו.

דוגמהעריכה

נתונה פונקציית הישר   (כלומר  ), וידוע כי על הישר נמצאת הנקודה  . מהו ערכו של   כאשר  ?

פתרון:

  • נציב את ערכי הנקודה במשוואת הישר:  
  • נפתור ונקבל:  
  • עכשיו ננסח מחדש את פונקציית הישר במלואה לפי תבנית הפונקציה:  
  • נציב את ערך ה־x שביקשו מאיתנו, ונקבל את הפתרון:  

וקיבלנו את הפתרון.

מציאת b בהנתן 2 נקודותעריכה

השיטה הפשוטה ביותר, היא כמובן, להציב את ערכי 2 הנקודות בנוסחה למציאת השיפוע (או, אם נתונה זווית, להציבה בטגנס ולמצוא שיפוע) ואז למצוא את n בעזרת נקודה אחת מהשתיים והשיפוע שמצאנו.

שיטה נוספת, ארוכה במקצת, אך חוסכת את ידיעת הנוסחות בעל-פה היא הצבת 2 הנקודות בתבנית פונקצית ישר, ולקבל 2 משוואות ב2 נעלמים ממעלה ראשונה, אותן אנחנו יודעים לפתור. נניח ויש לנו 2 נקודות:   ו-  . המשוואות שנקבל יהיו:  

כמובן שאם ברצוננו למצוא את n בלבד, אין צורך בפתירה מלאה של 2 המשוואות, אלא פתרון עד מציאת n בלבד, אך בדרך כלל מבקשים למצוא את כל הפונקציה.

המשמעות של n במשוואת הישרעריכה

n היא נקודת החיתוך עם y

כי אם x=0 אז y=mx+n=m*0+n=n

איך להתאים בין גרף למשוואת ישרעריכה

נקודה על הישרעריכה

נקודה רנדומלית הנמצאת על הישר, בעלת x ו-y. ניתן למצוא נקודה על הישר בעזרת השוואת ישרים.

איך לשרטט משוואהעריכה